무제한 어레이 이득에 대한 "잘 알려진"솔루션을 도출하는 방법은 무엇입니까?
누군가가 Henry Cox의 1987 년 IEEE 논문 "Robust Adaptive Beamforming"에서 beamformer Unconstrained Array Gain 표현을 분석적으로 해결하는 방법을 보여주는 웹 페이지 또는 기타 리소스를 알려줄 수 있습니까?
$$ \max_{\mathbf{w}} \frac{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}} $$
Cox 말한다 :
잘 알려진 해결책은 $\mathbf{w} = \alpha\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}$
나는 이것을 직접 유도하는 방법을 배우면서 이것을 더 잘 이해하고 싶습니다.
답변
Lagrange multipliers 방법을 사용하여 이러한 문제를 해결할 수 있습니다 . 먼저 질문의 표현식을 최대화하는 것은 역함수를 최소화하는 것과 같습니다.
$$\min_{\mathbf{w}}\frac{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}}{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}\tag{1}$$
다음의 해결책은 $(1)$ 스케일링에 불변 $\mathbf{w}$, 즉, 교체 $\mathbf{w}$ 으로 $c\cdot\mathbf{w}$ 에 $(1)$ 임의의 스칼라 상수 사용 $c$함수의 값을 변경하지 않습니다. 따라서 우리는 스케일링을 사용하여$\mathbf{w}^H\mathbf{d}=1$만족합니다. 이 스케일링은 원하는 신호에 대한 단일 응답에 해당합니다. 이 제약으로 문제$(1)$ 다음과 같이 재구성 될 수 있습니다.
$$\min_{\mathbf{w}}\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}\qquad\textrm{s.t.}\qquad \mathbf{w}^H\mathbf{d}=1\tag{2}$$
우리는 해결할 수 있습니다 $(2)$ 최소화하여 라그랑주 승수 방법 사용
$$\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}-\lambda(\mathbf{w}^H\mathbf{d}-1)\tag{3}$$
공식적으로 파생 된 $(3)$ 에 관하여 $\mathbf{w}^H$ 0으로 설정하면
$$\mathbf{w}=\lambda\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}\tag{4}$$
제약 $(2)$ 만족하다
$$\lambda=\frac{1}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}\tag{5}$$
에서 $(4)$ 과 $(5)$ 우리는 마침내 얻습니다
$$\mathbf{w}=\frac{\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}\tag{6}$$
축소는 $(6)$ 선택 사항이며 일반적인 솔루션은 다음과 같습니다. $(4)$.
첫째, 최대 SINR 빔 포머 문제에 대한 솔루션 스케치 $$ \text{max}_{\mathbf{w}} \frac{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}} $$ 기능을 작성하는 것으로 시작 $$ \mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w} $$최소화하고 제약 조건 세트 . 실제로, 웨이트 벡터 w 및 w H는 이들 변수에 대해 유도체 복용 변수의 두 개의 독립적 인 세트로 간주된다; 따라서 일반적으로 가중치-신호 부산물의 제곱 계수로 기록되는 출력 신호 에너지는 제곱근을 취하는 표준을 계산하지 않고 분석 함수로 기록되어야합니다.$$ |\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2 = \mathbf{w}^H\mathbf{d}·\mathbf{d}^H\mathbf{w} $$ 결과적으로 선형 제약 조건 세트는 다음과 같습니다. $$ \mathbf{w}^H\mathbf{d} = c \\ \mathbf{d}^H\mathbf{w} = c^* $$ 그리고 우리는 두 개의 라그랑주 승수, λ와 μ로 라그랑주를 써야합니다 : $$ \mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}-λ(\mathbf{w}^H\mathbf{d}-c)-μ(\mathbf{d}^H\mathbf{w}-c^*) $$Lagrangian의 두 도함수 (첫 번째는 w에 대한 것이고 두 번째는 w H에 대한 것)를 취하여 λ 및 μ에 대한 표현식을 얻고 이를 제약 표현식으로 대체하여 최종적으로 가중치에 대한 공식 :$$ \mathbf{w}=c\frac{\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}} $$놀랍게도 OP의 요청에 따라 웹에서 "빔 포머를 분석적으로 해결하는 방법을 보여주는 웹 페이지 또는 기타 리소스"를 검색하면이 공식의 파생물을 축소하고 결함이있는 버전 만 찾을 수있었습니다. 일반적인 문서 는 코스 노트 Optimal Beamforming , 다른 모든 측면에서 주제에 대한 상세하고 유용한 소개. 나는 OP가 학습 자원의 누락을 알리기 위해 질문을 게시했다고 의심합니다 (농담하려는 어색한 시도를 용서하십시오).
지금 은 최적의 빔 포밍에 관심이있는 학생들에게 일반 선형 제약 2 차 계획법 에 대한 학습 자료 만 추천 할 수 있습니다 . 예를 들어, refs.https://www.math.uh.edu/~rohop/fall_06/Chapter3.pdf 과 https://www.cis.upenn.edu/~cis515/cis515-20-sl15.pdf. 이 문서에서는 실수 값 2 차 형식 만 고려되지만 주요 결과는 복잡한 영역으로 일반화 할 수 있습니다.