내부 제품 $\mathcal{C}[a,b]$

Question

나는 기능적 $$\langle f,g\rangle = \int_{a}^{b} \int_{a}^{b} \frac{\sin(\pi(t-s))}{\pi (t-s)} f(s) \overline{g(t)}dsdt$$ 내부 제품입니다 $\mathcal{C}[a,b]$ (복잡한 연속 기능).

나는 이미 보여준 유사한 운동을했습니다. $$\int_{a}^{b} f(t) \overline{g(t)} dt$$내부 제품입니다. 그리고 대부분의 속성은 같은 이유를 따릅니다. 그러나 나는 방법을 볼 수 없다$$\langle f,f\rangle = \int_{a}^{b} \int_{a}^{b} \frac{\sin(\pi(t-s))}{\pi (t-s)} f(s) \overline{f(t)}dsdt = 0 \iff f \equiv 0.$$ 의미 $f=0 \Longrightarrow \langle f,f\rangle=0$ 기능의 정의에서 명확하지만 $\frac{\sin(\pi(t-s))}{\pi (t-s)} = 0$ ...에 대한 $\pi(t-s) = n\pi$나는 다른 의미를 이해할 수 없습니다. 와 같다$\langle f,f\rangle \geq 0.$

Answer 1

쓰다

$$\langle f,f\rangle = \int_{a}^{b} \int_{a}^{b} \int_0^1 \cos(\pi u(t-s))du\, f(s)\overline{f(t)}ds\,dt \\ = \int_0^1 \left(\int_a^b \cos(\pi u s) f(s) ds \int_a^b \cos(\pi u t) \overline{f(t)} ds\right. \\ +\left. \int_a^b \sin(\pi u s) f(s) ds \int_a^b \sin(\pi u t) \overline{f(t)} ds \right)du \\ = \int_0^1 \left(\left|\int_a^b \cos(\pi u s) f(s) ds\right|^2 + \left|\int_a^b \sin(\pi u s) f(s) ds\right|^2 \right)du.$$

그때, $\langle f,f\rangle \ge 0$, 그리고 $f\in C[a,b]$, $\langle f,f\rangle = 0$ iff $$ \int_a^b \cos(\pi u s) f(s) ds= \int_a^b \sin(\pi u s) f(s) ds = 0 $$ 모든 $u\in [0,1]$ (두 적분이 모두 연속적임을 관찰 $u$). 즉, 푸리에 변환$\hat g$ 의 $g(x) = f(x) \mathbf{1}_{[a,b]}$ 사라진다 $[0,1]$. 이후$\hat g$ 분석적이며 모든 곳에서 사라집니다. $f = 0$ ae, 언제 $f \equiv 0$ 연속성 때문입니다.