오히려 비 $F_\sigma$ 보렐 세트
내가 물었다 이 일주일 전에 MSE에서 질문을,하지만 난 그래서 여기 교차 게시, 아무 대답도 수신되지.
각 메트릭 공간을 제공 하는 이 MSE 질문에 대한 부정적인 대답을 얻었습니다.$X$ 그런 $|X|=\frak c$ 및 밀도 $d(X)<\frak c$, Borel 세트 포함 $B$ 그런 $|B\setminus C|=\frak c$ 각각 $F_\sigma$-하위 집합 $C$ 의 $X$ 와 $C\subset B$. 내 질문은 후자의 주장이 유효한지 여부입니다. 나는 이것이 알려진 (그리고 사실)이라고 생각하지만 참조를 찾기가 어렵습니다. 감사.
내 시도. [Kech]의 정리 22.4 를 사용 하면 다음과 같은 경우에 주장을 보여줄 수 있습니다.$X$폴란드어입니다. 분리형에 대한 주장을 증명하려면$X$, [Kech]의 발의안 12.1 에 의해 임의의 고정 된 폴란드 공간의 부분 공간에 대해이를 증명하는 것으로 충분합니다.
참고 문헌
[Kech] A. Kechris, Classical Descriptive Set Theory , Springer, 1995.
답변
연속체 가설이 실패하고 널 이상에 대한 커버링 수가 연속체와 동일하면 진술이 거짓이라는 주장이 있습니다. Borel 레알 세트를 다음과 같이 잘 주문하십시오.$\langle B_{\alpha} : \alpha < \mathfrak{c} \rangle$. 각각 선택$\alpha < \mathfrak{c}$ an $F_{\sigma}$ 세트 $C_{\alpha} \subseteq B_{\alpha}$ 그런 $B_{\alpha} \setminus C_{\alpha}$ null이고 진짜 $x_{\alpha}$ 아니 $B_{\beta} \setminus C_{\beta}$ 어떠한 것도 $\beta < \alpha$. 허락하다$X = \{ x_{\alpha} : \alpha < \mathfrak{c}\}$. 그런 다음 Borel 하위 집합$X$ 이다 $B_{\alpha} \cap X$ 일부 $\alpha$. 더욱이,$C_{\alpha} \cap X$ 이다 $F_{\sigma}$ 하위 집합 $B_{\alpha} \cap X$, 및 $(B_{\alpha} \cap X) \setminus (C_{\alpha} \cap X)$ 에 포함되어 있습니다 $\{ x_{\beta} : \beta \leq \alpha\}$ 카디널리티가 $\mathfrak{c}$.
CH가 거짓이라는 진술의 일관성과 $\mathrm{cov}(\mathcal{N}) = \mathfrak{c}$, 이것은 MA + not-CH의 표준 결과입니다 (Jech의 Set Theory 2003 년판 Theorem 26.39 참조). MA와 not-CH의 일관성은 Jech의 정리 16.13입니다.
나는 문제의 진술이 CH에서 나온 이전 주장을 수정해야합니다. 이것은 공백에 해당하는 것으로 보입니다.$X$ 그렇지 않은 Borel 하위 집합이 $F_{\sigma}$, 내 원래 의견의 아이디어로 : if $B$ 있다 $F_{\sigma}$ 하위 집합 $C$ 그런 $B \setminus C$ 셀 수 있습니다. $B$ 이다 $F_{\sigma}$. 다른 한편으로,이 답변의 첫 번째 단락에서 CH 아래의 증명을 실행하여 일련의 카디널리티 실수를 생성 할 수 있습니다.$\mathfrak{c}$ 모든 Borel 세트가 $F_{\sigma}$. 따라서 그러한 공간에 대한 진술은 실패합니다.