필드 F의 기초 $\mathbb{Q}$

Question

나는 필드 이론을 독학하고 있으며 이 문제에 부딪쳤습니다.

만약에$\;F=\mathbb{Q} \left(\sqrt{2}, \sqrt{3}\right),\;$찾기$\;\left[F:\mathbb{Q}\right]\;$그리고 의 기초$F$~ 위에$\mathbb{Q}$.

나는 그것을 증명했다$\left[F:\mathbb{Q}\right] =4$, 그러나 기본 요소에 문제가 있습니다.

내 기본 설정은$\left\{a, b\sqrt{2}, c\sqrt{3}\right\}$그런$a, b, c$에 속하다$\mathbb{Q}$. 그러나 네 번째 요소는 무엇이고 그 이유는 무엇입니까?

나는 볼 수 없습니다.

친절하게 도와주세요.

Answer 1

의 기초$F$~ 위에$\mathbb{Q}$~이다$\;\left\{1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}\right\},$실제로 모든 요소에 대해$\;x\in F\;$존재한다$\;r_1,\;r_2,\;r_3,\;r_4,\;r_5,\;r_6,\;r_7,\;r_8\in\mathbb{Q}\;$그런

\begin{align} x&=\dfrac{r_1+r_2\sqrt{2}+r_3\sqrt{3}+r_4\sqrt{6}}{r_5+r_6\sqrt{2}+r_7\sqrt{3}+r_8\sqrt{6}}\\ &=\dfrac{r_1+r_2\sqrt{2}+r_3\sqrt{3}+r_4\sqrt{6}}{r_5+r_6\sqrt{2}+r_7\sqrt{3}+r_8\sqrt{6}}\cdot\dfrac{r_5+r_6\sqrt{2}-r_7\sqrt{3}-r_8\sqrt{6}}{r_5+r_6\sqrt{2}-r_7\sqrt{3}-r_8\sqrt{6}}\\ &=\dfrac{\left(r_1+r_2\sqrt{2}+r_3\sqrt{3}+r_4\sqrt{6}\right)\left(r_5+r_6\sqrt{2}-r_7\sqrt{3}-r_8\sqrt{6}\right)}{\left(r_5+r_6\sqrt{2}\right)^2-\left(r_7\sqrt{3}+r_8\sqrt{6}\right)^2}\\ &=\dfrac{s_1+s_2\sqrt{2}+s_3\sqrt{3}+s_4\sqrt{6}}{s_5+s_6\sqrt{2}}\\ &=\dfrac{s_1+s_2\sqrt{2}+s_3\sqrt{3}+s_4\sqrt{6}}{s_5+s_6\sqrt{2}}\cdot\dfrac{s_5-s_6\sqrt{2}}{s_5-s_6\sqrt{2}}\\ &=\dfrac{\left(s_1+s_2\sqrt{2}+s_3\sqrt{3}+s_4\sqrt{6}\right)\left(s_5-s_6\sqrt{2}\right)}{\left(s_5+s_6\sqrt{2}\right)\left(s_5-s_6\sqrt{2}\right)}\\ &=q_11+q_2\sqrt{2}+q_3\sqrt{3}+q_4\sqrt{6} \end{align}

어디$\;q_1,\;q_2,\;q_3,\;q_4\in\mathbb{Q}\;$.