포인트 선주문 만있는 Toposes
Grothendieck topos의 경우 $\mathcal{E}$, 다음 주장은 동일합니까?
$(i)$ $\mathcal{E}$ 로컬입니다.
$(ii)$ 대각선 기하학적 형태 $\mathcal{E} \to \mathcal{E} \times \mathcal{E}$임베딩입니다. (여기$\mathcal{E} \times \mathcal{E}$ 제품 카테고리가 아니라 제품 topos입니다.)
$(iii)$ 모든 Grothendieck topos $\mathcal{E}'$, $\mathrm{Geom}(\mathcal{E}', \mathcal{E})$ 선주문입니다 (평행 기하학적 변형 없음).
의미 $(i) \Rightarrow (ii)$ 과 $(ii) \Rightarrow (iii)$ 보류 :
- $(i) \Rightarrow (ii)$: 모든 대각선 형태 $X \to X \times X$(모든 카테고리에서) 분할 모노이고 로케일의 분할 모노는 임베딩입니다. 로케일에서 toposes에 이르는 (잊혀지지 않는) functor는 제품을 보존하고 로케일 임베딩을 기하학적 임베딩으로 전환합니다.
- $(ii) \Rightarrow (iii)$: 만약 $\mathcal{E} \to \mathcal{E} \times \mathcal{E}$ 임베딩, 대각선 펑터 $\mathrm{Geom}(\mathcal{E}', \mathcal{E}) \to \mathrm{Geom}(\mathcal{E}', \mathcal{E} \times \mathcal{E}) \simeq \mathrm{Geom}(\mathcal{E}', \mathcal{E}) \times \mathrm{Geom}(\mathcal{E}', \mathcal{E})$완전히 충실해야합니다. 그러나 이것은 정확하게$\mathrm{Geom}(\mathcal{E}', \mathcal{E})$ 선주문입니다.
요약하면, 선주문 만있는 topos입니다. $\mathcal{E}'$모든 기준 포인트 $\mathcal{E}'$ 이미 현지?
답변
$(i) \Leftrightarrow (ii)$사실이며 Peter Johnstone의 코끼리 스케치에서 발의안 C.2.4.14입니다. 더 일반적으로 그는 경계가있는 기하학적 형태가$f: \mathcal{E} \to \mathcal{S}$ 다음과 같은 경우에만 로컬입니다. $\mathcal{E} \to \mathcal{E} \times_{\mathcal{S}} \mathcal{E}$ 임베딩입니다.
$(ii)$ 과 $(iii)$ 동등하지 않음 : "대각선은 단 형성"과 "대각선은 임베딩"사이에 큰 간격이 있습니다.
전형적인 예를 들어, 그룹에 대해 자유롭지 만 적절하지 않은 행동을 취하십시오. $G$ 로케일 (또는 공간) $X$. 아이디어를 수정하려면$G = \mathbb{Z}$ 행동 $X=S^1$ 비이성적 인 각도로 회전하여 단위 원.
등변 성 단의 topos $X//G$ 행동에 대한 "궤도"를 분류합니다. $G$ 의 위에 $X$, 그것은 $G$-torsor $T$ (교장 $G$-번들) 함께 $G$-등변 성지도 $T \to X$. 액션이 자유롭기 때문에 모든 topos의 포인트 카테고리에는 사소하지 않은 형태가 없습니다.
그러나 그 topos는 전혀 국부적이지 않습니다. 하위 터미널 객체는 $G$-불변 오픈 서브셋이므로 구체적인 예제에서는 $\emptyset$ 과 $1$.
대각선지도를 계산할 수도 있습니다. $\mathcal{T} \times \mathcal{T}$ 액션에 해당하는 topos로 표시 될 수 있습니다. $G \times G$ 의 위에 $X \times X$. 이것의 Subtopos는$G \times G$-등변 성 하위 로케일 $X \times X$ 그리고 대각선은 $G \times G$-등변 성.
보다 명시적인 구성을 만들기 위해 이산 그룹에 사용할 수 있습니다. $G$, topos localic over $BG$ (의 topos $G$-set)는 로컬과 동일합니다. $G$-동작. $\mathcal{T}$ 에 해당 $X$ 그것과 함께 $G$ 동작. $\mathcal{T} \times \mathcal{T} \to BG \times BG$ 또한 지역적 (지역지도의 산물)이고 해당 지역은 지점을 따라 뒤로 당겨서 얻습니다. $* \to BG \times BG$, 해당 로케일이 실제로 $X \times X$. 이제 내가 보면$\mathcal{T}$ 위에 $BG \times BG$ 같이 $\mathcal{T} \to \mathcal{T} \times \mathcal{T} \to BG \times BG$이면 로컬 $X \times G$ 어디 $G \times G$ 행동하다 $X$ 과 $G$ 개별적으로 (대칭 적 의미를 갖기 위해 세 개의 로케일입니다. $(x,x',g)$ 어디 $x'=gx$).
로케일로 $G \times G$ 행동, 대각선지도 $\mathcal{T}$ 따라서지도에 해당 $X \times G \to X \times X$ 보내는 $(g,x)$ ...에 $(x,gx)$. 모노입니다.$G$ 자유롭게 작동하지만 포함되지 않습니다.
물론 내가 위에서 한 주장 중 일부는 증거가 필요하지만 MO에게는 너무 길 수 있습니다.