평균의 곱

Question

허락하다 $(x_1,...,x_n)$ 과 $(y_1,...,y_n)$ 두 개의 다른 양의 실수 튜플이되도록 $x_1\times\dots\times x_n=y_1\times\dots\times y_n = c$. 사실인가요$$\left(\frac{x_1+y_1}{2}\right)\times\cdots\times \left(\frac{x_n+y_n}{2}\right) > c?$$

나는 이것이 아마도 함수에 대한 오목한 논쟁에서 따라야한다고 생각합니다. $f(x_1,...,x_n) = x_1\times\cdots\times x_n$,하지만 정확히 어떻게해야할지 모르겠습니다.

Answer 1

산술 및 기하 평균 사이의 불균형 상태에 해당$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{x y}$ ...에 대한 $x, y \ge 0$, 같음 $x=y$.

그것은 다음과 같습니다 $$ \prod_{k=1}^n \frac{x_k+y_k}{2} \ge \prod_{k=1}^n \sqrt{x_k y_k} = \sqrt{\prod_{k=1}^n x_k \cdot \prod_{k=1}^n y_k} = c $$ 평등 한 경우에만 $(x_1, \ldots, x_n) = (y_1, \ldots, y_n)$.

오목한 인수를 사용하려면 다음을 고려하십시오. $$ g(x_1, \ldots, x_n) = \log x_1 + \ldots + \log x_n \, . $$ $g$ 오목 함수의 합으로 오목합니다.

Answer 2

홀더 별 $$\prod_{k=1}^n\frac{x_k+y_k}{2}\geq\frac{\left(\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^nx_k}+\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^ny_k}\right)^n}{2^n}=c$$