표현의 문제 $D_4$

Question

문제

허락하다 $G=D_4=\langle a,b\ |\ a^4=b^2=1,\ ab=ba^{-1}\rangle$ 과 $V=\mathbb{C}^2$ 기지와 함께 $\{e_1,e_2\}$. 우리는보다$V$ 로 $\mathbb{C}G-$액션 모듈 $ae_1=e_2,\ ae_2=-e_1$ 과 $be_1=e_1, \ be_2=-e_2$.

1. 캐릭터 계산 $\chi_V$ 그리고 $\mathbb{C}G-$기준 치수 $V$ 환원 할 수 없습니다.

나는 그것을 발견했다 $\chi_V(1)=2,\ \chi_V(a)=0,\ \chi_V(b)=0,\ \chi_V(a^2)=-2,\ \chi_V(ab)=0$ 그리고 그 $[\chi_V,\chi_V]=1$ 따라서 $\mathbb{C}G-$기준 치수 $V$ 환원 할 수 없습니다.

1. 검사 $V\otimes_{\mathbb{C}}V$ 있다 $\mathbb{C}G-$서브 모듈 동형 $\mathbb{C}G$.
2. 모든 $n\ge1$ 우리는 $\mathbb{C}G-$기준 치수 $V_n=V^{\otimes n}$. 모두 찾기$n$ 존재하는 $w\in V_n$ 성 $w\not=0$ 과 $gw=w,\ \forall g\in G$.

나는 찾아야한다 $n$ 성 $V_n^G=\{v\in V_n\ | \ gv=v\ \forall g\in G\}\not=\emptyset\iff dim_{\mathbb{C}}V_n^G\ge1$. 알아$dim_{\mathbb{C}}V_n^G=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\chi_{V_n}(g)=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}[\chi_{V}(g)]^n=\begin{cases} 0, \ n\ \text{ is odd}\\ \ge1,\ n \ \text{is even} \end{cases}$. 그래서 그것은$n\in2\mathbb{Z}$.

(a) 내 접근 방식은 $1,3$ 옳은?

(b) $2$?

(c) 모듈이 있는지 확인하는 일반적인 방법이 있습니까? $A$ 모듈의 동형 이미지 포함 $B$문자 사용? 특히 내가 어떻게$\mathbb{C}G-$ 기준 치수 $V$, $V\otimes_{\mathbb{C}} V$ 포함 $\mathbb{C}G-$ 서브 모듈 동형 $V$?

미리 감사드립니다!

Answer 1

1. 전시 $\langle \chi_V, \chi_V\rangle = 1$ 괜찮습니다.

2. 일반적으로 $\langle \chi_V, \chi_{\mathbb{C} G}\rangle = \dim V$. 이것은 단지$\chi_{\mathbb{C}G}(g) = |G| \delta_{g=1}$, 그래서 스칼라 곱은 단순히 $\chi_V(1) = \dim V$. 이 예는 실제로$\langle \chi_V, \chi_W\rangle$ 여부에 대해 많은 것을 말할 필요가 없습니다 $V$ 포함 $W$. 또한$V$ 포함 $\mathbb{C}G$ 모든 환원 불가능한 경우에만 $W$, $\langle \chi_V, \chi_W\rangle \geq \dim W$. 이 후자의 조건은 물론 모든 것을 알고 있으면 확인하기 쉽습니다.$\chi_W$의 명시 적이며 그러한 소규모 그룹의 경우 손으로 해결할 수 있습니다.

3. 컴퓨팅 $\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \chi_V(g)^n$ 중대하다.

이 특별한 경우에는보기 쉽습니다. $\langle \chi_V^2, \chi_V\rangle = 0$, 그래서 $V \otimes V$ 환원 불가능한 것을 포함하지 않습니다 $V$이므로 포함 할 수 없습니다. $\mathbb{C}G$ 그리고 다른 불평등을 확인하거나 다른 축소 불가능한 캐릭터를 찾을 필요가 없습니다.