상태 i에 도달 할 확률
방금 Markov chain을 배우기 시작했는데이 질문을 어떻게 해결해야할지 모르겠습니다.
개미는 0으로 표시된 정점에서 시작하여 정육면체의 가장자리를 따라 걷습니다. 정점에 도달하면 개미는 각 정점에 대해 동일한 확률로이 정점에 입사하는 가장자리로 계속 이동합니다.
개미를 기다리고있는 α와 β로 표시된 두 개의 꼭지점에 거미가 2 개 있습니다. 개미가 거미 정점 α에 도달 할 확률은 얼마입니까? 정점 β는 어떻습니까?
답변
이 문제는 쉬운 해결책을 인정하는 정도로 단순화 될 수 있습니다. 작업을 확인하기 위해 Markov Chain 계산을 할 때 이것을 가이드로 사용하십시오.
허락하다 $p_s$ 끝날 기회가 $\alpha$ 정점에서 시작할 때 $s.$ 우리는 찾을 필요가 있습니다 $p_0.$ 필연적으로 애벌레가 접착 될 것이기 때문에 (이것을 증명하십시오!), $1-p_s$ 끝날 기회입니다 $\beta.$
큐브의 대칭에서
$$p_0 = 1-p_3;\quad p_1=p_5=1-p_2=1-p_4.$$
이후 $p_\alpha=1$ 과 $p_\beta=0,$두 개의 수량 만 찾아야합니다. 말하다,$p_0$ 과 $p_1.$
3 개의 이동 만 가능합니다. $0,$ 각 주와 동일한 확률 $1,3,$ 과 $5.$ 따라서 (조건부 확률 측면에서 엄격하게 설명하십시오!)
$$p_0 = \left(p_1+p_3+p_5\right)/3 = \left(p_1+1-p_0+p_1\right)/3 = (1-p_0+2p_1)/3,$$
우리가 표현할 수 있도록 $p_1$ 측면에서 $p_0,$
$$p_1 = (4p_0-1)/2.$$
주에서 $1$ 주에 균등 한 세 가지 이동이 있습니다. $0, 2,$ 과 $\alpha,$ 어떻게
$$p_1 = (p_0+p_2+p_\alpha)/3 = (p_0 + 1-p_1 + 1)/3.$$
선행 방정식과 함께 이것은 고유 한 솔루션을 제공합니다.
$$p_0 = 4/7.$$
이제 전체 솔루션은 앞에서 다음과 같이 직접 계산할 수 있습니다.
$$(p_0,p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_\alpha,p_\beta) = (8, 9, 5, 6, 5, 9, 14, 0)/14.$$