산술 진행에 관한 추측
나는 산술 진행에 대해 내 마음 속에 추측이 있지만 그것을 증명할 수없는 것 같습니다. 나는 그 추측이 사실이라고 확신합니다.
추측은 다음과 같습니다. AP (산술 진행)가 있다고 가정합니다. $$a[n] = a[1] + (n-1)d$$ 이제 AP가 첫 번째의 합이 $n$ 우리 AP의 조건은 첫 번째 $m$ 자귀: $$S[n] = S[m]$$ 그러나 $n \neq m$. 두 가지 정리를 증명하고 싶습니다.
- 기본 AP $a[n]$0이되는 지점에 대해 대칭 이어야합니다 .
- $S[n + m] = 0$
수치 예
AP 고려 : $$a[n] = 4 - n = (3, 2, 1, 0, -1, -2, -3)$$ 이것은 공통점을 가진 AP입니다. $d = -1$ 첫 학기 $a[1] = 3$: 다음은이 AP의 MATLAB 플롯입니다 . 플롯에서 볼 수 있듯이 AP는 점에 대해 대칭 입니다.$n = 4$: $$a[4-1] = -a[4+1] = 1$$ $$a[4-2] = -a[4+2] = 2$$ $$a[4-3] = -a[4+3] = 3$$
이제 다음은 AP의 합계입니다. $$S[n] = (3,5,6,6,5,3,0)$$ 다음은 합산의 MATLAB 플롯입니다 . 다음을 명확하게 볼 수 있습니다.$$S[1] = S[6] = 3$$ $$S[2] = S[5] = 5$$ $$S[3] = S[4] = 6$$
또한 다음을 볼 수 있습니다. $$S[1 + 6] = S[7] = 0$$ $$S[2 + 5] = S[7] = 0$$ $$S[3 + 4] = S[7] = 0$$
이 문제를 해결해 주시겠습니까? 모든 안내를 환영합니다. 나는 실제로 공학 학생이기 때문에 순수 수학 능력이 그렇게 강하지 않습니다.
감사합니다!
답변
만약 $S_n=S_m$ 와 $n\ne m$, 즉 $na_1+\frac{n(n-1)}{2}d=ma_1+\frac{m(m-1)}{2}d$, 이것은 의미 $a_1(n-m)+\frac{(n-m)(m+n-1)}{2}d=0$. 같이$n\ne m$, 취소 할 수 있습니다. $n-m$ 그리고 결론 :
$$a_1+\frac{m+n-1}{2}d=0$$
지금:
$$\begin{array}{rcl}S_{m+n}&=&a_1(m+n)+\frac{(m+n)(m+n-1)}{2}d\\&=&(m+n)\left(a_1+\frac{m+n-1}{2}d\right)\\&=&(m+n)\cdot 0\\&=&0\end{array}$$
대칭은 정의합시다 $k=\frac{m+n+1}{2}$ 위의 공식은 $a_1+(k-1)d=0$. 이제$i$ 그 정도의 숫자 $k+i$ 과 $k-i$ 둘 다 정수입니다.
$$a_{k+i}=a_1+(k+i-1)d=a_1+(k-1)d+id=id$$ $$a_{k-i}=a_1+(k-i-1)d=a_1+(k-1)d-id=-id$$
그래서 그것은 다음과 같습니다 $a_{k-i}=-a_{k+i}$ -따라서 대칭성을 증명합니다.
뭐 $i$ 위의 증명에있을 것입니다 $m+n$ 홀수-어떤 경우 $k$ 정수이고 $i$ 정수 또는 $m+n$ 짝수입니다. $k$ "반정 수"(즉, 정수 $+\frac{1}{2}$) 및 $i$ "반정 수"이기도합니다.
예제로 제공 한 시퀀스는 전자 사례의 예입니다.
$$3,2,1,0,-1,-2,-3,\ldots$$
그리고 예 $S_1=S_6=3$. 즉,$k=\frac{1+6+1}{2}=4$ 정수이고 $a_k=a_1+(k-1)d=0$. (과연,$a_4=0$.) 또한 복용 $i=1,2,3,\ldots$, 우리는 결론 $a_5=-a_3,a_6=-a_2,a_7=-a_1$.
후자의 경우의 예는 다음과 같습니다.
$$5,3,1,-1,-3,-5,-7\ldots$$
어디 예 $S_1=S_5=5$ 과 $k=\frac{1+5+1}{2}=3\frac{1}{2}$- "반정 수". 가져 감으로써$i=\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2},\ldots$ 우리는 그것을 얻습니다 $a_4=-a_3, a_5=-a_2, a_6=-a_1$ -이 시퀀스가 값을받지 않더라도 $0$.
확인. 첫 번째 용어를$a$ 그리고 비율 $r$. 그런 다음 첫 번째의 합$n$ 용어는 $an+\frac{(n-1)n}{2}$ 그리고 첫 번째의 합 $m$ 용어는 $am+\frac{r(m-1)m}{2}$.
그것들이 같다고 가정하십시오. 그때$$an+\frac{r(n-1)n}{2}=am+\frac{r(m-1)m}{2}$$ 이는 $$a(n-m)=r\frac{m^2-n^2-(m-n)}{2}=r\frac{(m-n)(m+n-1)}{2}=r\frac{(n-m)(1-m-n)}{2}$$
때문에 $n\neq m$, 우리는 $a=\frac{r(1-m-n)}{2}$.
그런 다음 첫 번째의 합계 $m+n$ 용어는 $$a(m+n)+\frac{r(m+n-1)(m+n)}{2}=(m+n)\times\frac{r(1-m-n)}{2}+\frac{r(m+n-1)(m+n)}{2}=-\frac{r(m+n-1)(m+n)}{2}+\frac{r(m+n-1)(m+n)}{2}=0$$
그것이 대칭임을 증명하기 위해 그것이 될 때를 찾으십시오. $0$.
만약 $k^{th}$ 기간이 0이면 $a+kr=0$, 그래서 $\frac{r(1-m-n)}{2}+kr=0$, 이어지는 $k=\frac{m+n-1}{2}$. 이 일이 일어나려면$m+n$이상해야합니다. 어쨌든,이 시점에서 대칭을 증명하려면$|(\frac{m+n-1}{2}-x)^{th}$ 기간$|$ 동일하다 $|(\frac{m+n-1}{2}+x)^{th}$ 기간 $|$ 용어, 공식 사용 ( $m+n$ 이상하다)