선수와 티켓
당신은 경쟁을 할 N 플레이어 중 하나입니다. 추첨은 각 플레이어의 배치를 결정하는 데 사용됩니다. 당신은 이점이 있습니다. 당신의 이름이 적힌 티켓 2 장을 모자에 넣고, 다른 플레이어는 각자 이름이 적힌 티켓을 한 장만 모자에 넣습니다. 모자가 잘 흔들리고 모자에서 티켓이 하나씩 뽑 힙니다. 나타나는 이름의 순서에 따라 각 플레이어의 배치가 결정됩니다. 당신이 할당받을 확률은 얼마입니까?$n$th 배치 $n = 1, 2, . . . , N$?
내 이름이 그려 질 확률 $k$시도는 $\frac{2}{N}(\frac{N-2}{N})^{k-1}$ (즉 $k-1$ 첫 번째 성공 전 실패 $k$). 나는 해결책이$\prod_{k=1}^{n-1}\frac{2}{2+N-n}\frac{N-k}{2+N-k}$.
허락하다 $A_i$ 내 이름이 짝을 이루는 이벤트가 $i$th 시도. 그래서:
$\mathbb{P}(A_1)=\frac{2}{N+1}$;
$\mathbb{P}(A_2)=\mathbb{P}(\bar{A_1})\mathbb{P}(A_2|\bar{A_1})=(\frac{N-1}{N+1})(\frac{2}{N})$
$\mathbb{P}(A_3)=\mathbb{P}(\bar{A_1}\cap \bar{A_2})\mathbb{P}(A_3|\bar{A_1}\cap \bar{A_2})=(\frac{N-1}{N+1})(\frac{N-2}{N})(\frac{2}{N-1})$.
따라서 나는
$\mathbb{P}(A_n)=(\frac{N-1}{N+1})\cdot (\frac{N-2}{N})\cdot ... \cdot (\frac{N-n-1}{N+1-n})\cdot (\frac{2}{N-n})$
하지만 위의 제품으로 안내 할 수 없습니다. 내가 어디에서 틀렸어?
답변
"일단 이름이 그려지고 배치되면 해당 이름의 향후 티켓은 무시됩니다"라는 가정하에 귀하와 거의 동일한 결과를 얻습니다.
$(\color{green}{\text{green part edited}})$ $$\mathbb{P}(A_n)=\left(\frac{N-1}{N+1}\right)\cdot \left(\frac{N-2}{N}\right)\cdot ... \cdot \color{red}{\left(\frac{N-n+1}{N+3-n}\right)}\cdot \left(\frac{2}{N\color{green}{+2}-n}\right),$$
있다 $n-1$ 첫 번째를 다루는 용어 $n-1$성공하지 못한 무승부와 마지막 무승부. 추첨 할 티켓 수가 각 추첨 후 1 씩 감소함에 따라 분모는 각 요소에서 1 씩 감소합니다. 처음으로$n-1$ 용어 (실패한 그리기) 열거 자도 1만큼 감소하므로 분모와 열거 자의 차이는 항상 $2$ (당신의 2 장의 티켓을 나타냄).
그 결과는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\frac{2}{N\color{green}{+2}-n}\prod_{k=1}^{n-1}\frac{N-k}{N+2-k}.$$
귀하의 "알려진 솔루션"이 빈 제품을 $n=1$, 따라서 확률 1을 의미하며 이는 분명히 정확하지 않습니다. 따라서 올바르게 복사했는지 확인하십시오.
솔루션은 광범위하게 단순화됩니다. 왠지 \ cancel이 작동하지 않기 때문에 취소하는 용어를 같은 색으로 표시하여 의미를 나타내려고했습니다. 불행히도 처음 몇 개의 용어 만 이런 식으로 표시 할 수 있습니다.
$$\frac{\color{red}{N-1}}{N+1}\frac{\color{blue}{N-2}}{N} \frac{\color{green}{N-3}}{\color{red}{N-1}} \frac{\color{orange}{N-4}}{\color{blue}{N-2}}\dots $$
여기에 더 좋은 방법이 있습니다.
허락하다 $1\leq n\leq N$주어진.
허락하다$A$ 귀하의 이름이 $n$th 티켓. 허락하다$B$ 이름이 티켓에없는 이벤트 $1,2,\dots,n-1$. 우리는 찾는다$\Pr(A\cap B)$.
$$\Pr(A\cap B) = \Pr(A)\Pr(B|A) = \boxed{\frac2{N+1}\frac{N+1-n}{N}}$$
첫 번째 용어는 분명합니다. 두 번째로,$N$ 귀하의 이름이 적힌 다른 티켓이있을 수있는 장소 $N+1-n$ 그들 중 뒤에 오는 $n$th 티켓.
위에서 설명한 단순화를 수행하면이 간단한 대답을 얻을 수 있습니다.
이 확률 실험이 어떻게 진행되고 있는지 이해가 안되지만 다른 사람들과는 다른 답을 얻고 있습니다. 누군가 내 추론이 왜 부적절한 지 지적 할 수 있겠습니까?
플레이어 이름이 선택되면 해당 이름의 향후 티켓이 무시된다고 가정 해 보겠습니다.
티켓을 추첨 할 수있는 방법으로 귀하의 이름이 $n^{th}$ 슬롯은 ${2 \choose 1} \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot (N-1)!$
총 티켓을 추첨 할 수있는 방법은 다음과 같습니다. ${2 \choose 1}\cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot N!$
이 두 가지를 나누면 $$\frac{ 2 \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot (N-1)! }{ 2 \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot N! }=\frac{1}{N}$$
이것을보기 위해 우리는 특정한 예를 볼 수 있습니다. 당신이 로또 1 위라고 가정 해보자.$N-1=2$ 다른 사람들과 $ \{1,1^*\} $ 두 개의 기부 티켓을 나타냅니다. $N+1=4$모자에있는 표. 우리는 모자의 모든 티켓 수집을 다음과 같이 표시합니다.$\{1,1^*,2,3\}$. 우리는 모두 나열 할 수 있습니다${2 \choose 1}\cdot {{3-1} \choose {3-1}} \cdot 3!=12$ 이름의 가능한 순서를 명시 적으로 : $$\{1,2,3\}, \{ 1,3,2\}, \{ 2,1,3\}, \{ 3,1,2\}, \{2,3,1 \},\{3,2,1 \}$$ $$\{1^*,2,3\}, \{ 1^*,3,2\}, \{ 2,1^*,3\}, \{ 3,1^*,2\}, \{2,3,1^* \},\{3,2,1^*\}$$ 당신이 할당 될 확률 $n^{th}$ 배치는 $ \frac{1}{N}=\frac{1}{3}$ ...에 대한 $n=1,2,3$ 그것은 나에게 완전히 의미가 있습니다.