스칼라와 벡터 사이의 곱셈을 작성하는 올바른 방법은 무엇입니까?
행렬 곱셈의 규칙에 따르면 왼쪽 피연산자의 열 수는 오른쪽 피연산자의 행 수와 같습니다.
$M*N$ M이 $n$ 열과 N은 $n$ 행.
이 관례에 따라 벡터와 스칼라 사이의 곱셈을 쓰는 자연스러운 방법은 벡터를 왼쪽에 놓는 것입니다 --- 스칼라를 1x1 행렬로 취합니다.
그러나 나는 종종 사람들이 위의 규칙을 따르지 않는다는 것을 발견했습니다 : 예를 들어 고유 분해 사용 :
고유 분해 위키
$A\upsilon=\lambda\upsilon$
스칼라를 왼쪽에 놓아야 할 때 우리를 안내하는 경험 법칙이 있습니까?
답변
스칼라 곱셈과 행렬 곱셈은 2 개의 개별 연산입니다. "곱하기"라는 단어가 같더라도 완전히 다릅니다.
행렬 곱셈은 교환 적이 지 않습니다. 따라서 오른쪽에 올바른 행렬을 배치 해야 합니다. 관례에 관한 것이 아닙니다. 스칼라는 교환 적이며 양쪽에 둘 수 있습니다.
나는 그 자체 로 서면 관습 이 있다고 생각하지 않습니다. 사람들은 단순히 다른 용어 앞에 계수를 두는 데 익숙해졌습니다. 오른쪽에 스칼라를 넣으면 작업중인 분야에 따라 식을 읽는 일부 사람들이 멈추고 "휴, 잠깐, 우리는 비 교환 대수로 작업하고 있습니까?"라고 생각할 수 있습니다. 잠시 동안. 또한 어떤 사람들은 "휴, 이것은 스칼라입니까, 아니면 내가 뭔가를 놓치고 있습니까?"라고 생각할 수 있습니다. 독자에게 약간의 뇌주기가 필요할 수 있으므로 왼쪽에 스칼라를 두 겠지만 다른쪽에두면 비극이 아닐 것입니다.
다음을 사용하여 스칼라 곱셈 을 모방 할 수 있지만$1\times n$ 또는 $n \times 1$행렬-그것은 본질적인 것이 아닙니다. 다시 말하지만 이것들은 다른 작업이며 그중 하나만 교환 가능합니다.
이것은 단지 표기 규칙의 문제입니다. 일반적으로 벡터 공간의 공리는 다음 형식으로 스칼라 곱셈을 작성하여 공식화됩니다.$$\lambda \cdot v$$ 어디 $v \in V$ 과 $\lambda$ 땅에 속하다 $K$. 그 이유는 우리가 일반적으로 제품에서$\mu \cdot \lambda$ 요소의 $K$우리는 첫 번째 요소가 있습니다$\mu$그리고 두 번째 요소$\lambda$. 필드 (곱셈이 교환 적)에서 요인의 순서는 무관 한 것 같습니다 (왜냐하면$\mu \cdot \lambda = \lambda \cdot \mu$), 그러나 링 $R$(그 곱셈이 일반적으로 비 교환 적) 순서는 필수적입니다. 이것은 예를 들어$n\times n$-필드에 대한 행렬. 벡터 공간의 공리 중 하나는$$(\mu \cdot \lambda) \cdot v = \mu \cdot (\lambda \cdot v)$$ 오른쪽에서 스칼라 곱셈을 통해 작성된 동일한 공식보다 니모 적으로 더 쉽습니다. $$v \cdot (\mu \cdot \lambda) = (v \cdot \lambda) \cdot \mu .$$ 좋습니다. 필드의 경우 다음과 동일하므로 큰 차이가 없습니다. $$v \cdot (\lambda \cdot \mu) = (v \cdot \lambda) \cdot \mu .$$그러나 벡터 공간의 개념은 링을 통한 모듈 의 개념으로 일반화 될 수 있습니다.$R$그리고 여기서 순서는 차이를 만듭니다. 실제로 left와 rght를 구별합니다.$R$-모듈. 왼쪽$R$-muodules 하나는 일반적으로 스칼라 다중화를 다음과 같이 작성합니다. $\lambda \cdot v$, 오른쪽 $R$-모듈 $v \cdot \lambda$. 를 참조하십시오 여기 .
이제 질문의 핵심을 살펴 보겠습니다. 매트릭스 제품$A \bullet B$ 일반적으로 $m\times n$ 매트릭스 $A$ 그리고 $n\times p$ 매트릭스 $B$, 즉 우리는 열의 수를 요구합니다 $A$ 행 수와 같습니다. $B$. 말했듯이 스칼라$\lambda$ 간주 될 수 있습니다 $1 \times 1$ 매트릭스 $(\lambda)$. 따라서 다음 두 가지 표현식이 정의됩니다.$$(\lambda) \bullet A \text{ for } 1 \times n \text{ matrices } A \tag{1} $$ $$A \bullet (\lambda) \text{ for } n \times 1 \text{ matrices } A \tag{2} $$ 에 $(1)$ $A$행 벡터 라고합니다 .$(2)$열 벡터 .
따라서 선호하는 표기법에 따라 달라집니다. $K^n$ 행 벡터로 사용하려면 $(1)$, 열 벡터로 간주하면 다음과 같이 작성해야합니다. $(2)$.
어쨌든 이것은 스칼라 곱을 이해하기 위해 반드시 고집하는 경우에만 관련이 있습니다.$\lambda$ 과 $A$매트릭스 제품으로. 일반적으로$A = (a_{ij})$ 하나는 단순히 정의 $$ \lambda \cdot (a_{ij}) = (\lambda \cdot a_{ij}) .$$ 그렇게하는 것은 당신이 $K^n$ 행 벡터 또는 열 벡터로.