스펙트럼 $\ell^2$-운영자

Question

스펙트럼을 찾아야합니다 $\sigma(T)$ 다음 연산자의 $\ell^2$ (실제 시퀀스) :

$$T(x)=(x_1,x_2,0,0,x_4,x_5,\dots) \;\; \forall x=(x_1,x_2,\dots) \in \ell^2$$

그러나 몇 가지 문제가 있습니다 (어제 비슷한 질문을 게시했으며 운영자가 콤팩트하다고 지적되었지만 이것은 그렇지 않습니다)

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취하다 $y \in \ell^2$ 그리고 가정 $(T-\lambda)x=y$, 우리는 다음과 같은 관계가 있습니다.

$$(1-\lambda)x_1=y_1 \\ (1-\lambda)x_2=y_2\\ -\lambda x_3=y_3\\ -\lambda x_4=y_4\\ x_4-\lambda x_5=y_5\\ x_5-\lambda x_6=y_6 \\ \vdots$$

이것들로부터 우리는

$$x_1=(1-\lambda)^{-1}y_1\\ x_2=(1-\lambda)^{-1} y_2\\ x_3=-\lambda^{-1} y_3\\ x_4=-\lambda^{-1} y_4\\ x_5=-\left(\lambda^{-1}y_5+\lambda^{-2} y_4 \right)\\ x_6=-\left(\lambda^{-1} y_6+\lambda^{-2}y_5+\lambda^{-3} y_4 \right)\\ \vdots$$

이제는 어떻게할지 모르겠어요 $x \in \ell^2$.

Answer 1

편집 : 이것은 질문에 적용되지 않습니다. 아래를 참조하십시오.

연산자를 다음과 같이 표시하십시오. $P$. 분명해야$P$ 투영입니다. $P^2=P^*=P$. 모든 투영에서 스펙트럼은$\{0,1\}$, 이들 중 하나만 제외됩니다. 다른 모든 경우에 명시 적 역을 정의 할 수 있습니다.$(P-\lambda I)^{-1}=\frac{I}{-\lambda}+\frac{P}{\lambda-\lambda^2}$. 이것은 다음 계산을 통해 확인할 수 있습니다.\begin{align*} (P-\lambda I)\frac{1}{-\lambda}(I+\frac{P}{\lambda-1})&=\frac{1}{-\lambda}[P-\lambda I+\frac{P^2}{\lambda -1}-\frac{\lambda P}{\lambda -1}]\\ &=\frac{1}{-\lambda}[P-\lambda I-P]\\ &=I. \end{align*} 이것이 양면 역행이라는 사실은 전체 방정식에 별표를 표시 한 것에서 비롯됩니다.

여기에서 편집 : 연산자 $T$ 위의 소요 $e_1\mapsto e_1,e_2\mapsto e_2,e_3\mapsto e_3$, 다음 인덱스에서 앞으로 이동합니다. 이것은$T$ 분해가 $I_3\oplus R$, 어디 $I_3$ 이다 $3\times 3$ ID 연산자 및 $R$오른쪽 시프트 연산자입니다. 유한 한 많은 연산자의 직접 합의 스펙트럼은 스펙트럼의 합집합입니다. ID 연산자의 스펙트럼은 다음과 같습니다.$1$, 오른쪽 시프트 연산자의 스펙트럼은 닫힌 단위 디스크입니다. $\{z\in\mathbb C\,|\,|z|\le 1\}$. 그래서 스펙트럼$T$ 닫힌 단위 디스크입니다.