sheafification에 대해 생각하는 방법
허락하다 $\mathcal{F}$ 위상 공간에 걸쳐 아벨 그룹의 집단이되다 $X$, 그리고 하나의 shefification을 구성 할 수 있습니다 $\mathcal{F}$ 섹션으로 정의하여 $X \to \tilde{\mathcal{F}}$, 어디 $\tilde{\mathcal{F}}$ 관련된 뭉치 공간입니다 $\mathcal{F}$. 정의는 명확하지만 작업하기가 정말 어렵습니다. 예를 들어 뭉치 형태를 볼 수 있습니다.$d:C^{\infty}(M) \to \Omega^{1}(M): f \to df$. 우리는 이미지가 반드시 뭉치가 아니라는 것을 알고 있지만, 이미지의 가려움이 무엇이어야하는지에 대한 직관을 얻으려고 노력하고 있습니다.
답변
뭉치라고 부르기 위해 우리에게 필요한 두 가지가 있습니다.
- 접착 : 경우 $U$ 열린 덮개가있는 열린 세트입니다. $\{U_i\}_{i\in I}$ 및 섹션 $s_i\in \mathcal{F}(U_i)$ 그래서 $s_i|_{U_i\cap U_j} = s_j|_{U_i\cap U_j}$, 그러면 섹션이 있습니다. $s\in \mathcal{F}(U)$ 그래서 $s|_{U_i}=s_i$.
- 지역 : 두 개의 섹션이있는 경우 $s,t\in\mathcal{F}(U)$ 그리고 열린 덮개 $\{U_i\}_{i\in I}$ 그래서 $s|_{U_i}=t|_{U_i}$ 모든 $i$, 다음 $s=t$.
Sheafification은 우리가 할 수있는 가장 자연스러운 방법으로 이러한 관계를 시행하여 presheaf를 묶음으로 만드는 과정입니다. 이 프로세스에는 두 가지 주요 기능이 있습니다. 줄기를 보존하고, 뭉치를 통해 프리 시프에서 뭉치 요소까지의 모든 맵을 보존합니다.
매니 폴드에 대한 외부 파생의 경우에 특별히 관심이 있다면 여기에 뭉치 이미지에는 있지만 presheaf 이미지에는없는 것의 한 예가 있습니다. 중히 여기다$S^1$ 그리고 미분 형식 $d\theta$: 이것은 전 세계적으로 아닙니다 $d$ 무엇이든,하지만 로컬은 다음과 같습니다. 간단히 연결된 집합에서 함수를 찾을 수 있습니다. $f$ 어느 것이 $df=d\theta$통합하여 설정합니다. 이 섹션은 프리 시프에서 접착되지 않지만 뭉치에서 접착됩니다.
다발 사용에 대한 핸들을 찾고 있다면, 다발을 사용하는 가장 자연스러운 방법은 다발에 presheaves를 포함하는 인접 펑터로서, 그리고 줄기를 보존한다는 사실입니다. 특히, 사용할 수있는 한 가지 문제 해결 전략은 일부 presheaf의 sheafification에서 맵을 정의하고 일부 속성이 있는지 확인하려는 경우 stalks를 확인하면 stalkification에서 변경되지 않으므로 몇 가지 장애물을 제거 할 수 있습니다.
또한 일반적으로 삶에서 이런 종류의 sheafification에 대해 많이 걱정할 필요가 없다는 (아마도 안심할 수있는) 코멘트를하겠습니다. 그것이 무엇인지 배우고 그것이 중요한 몇 가지 기본적인 결과를 증명하는 몇 주가 있습니다. 그리고 그것은 산발적으로 만 나타납니다.