실수의 "요소"
이 질문은 본질적으로 별도의 (삭제 된) 질문 의 의역입니다.이 질문은 Asaf Karagila의 "요소$\pi$".
자연수 를 집합 으로 보는 방법을 알고 있습니다 . 예를 들어$3$ 세트로 볼 수 있습니다. $\{\:\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\:\}$, 그래서 요소가 있습니다 $\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$. 이것은 꽤 구체적이고 자연스러워 보입니다.
예를 들어 두 번째 빈 세트를 "마커"요소로 추가하여 정수를 처리하도록이를 조정할 수 있음을 알 수 있습니다. $-3$ 에 해당 $\{\:\emptyset, \emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\:\}$). 또한이 "마커"아이디어를 적용하여 유리수 (정수 쌍이며 특정 방식으로 상단과 하단에 표시)를 처리 할 수 있음을 알 수 있습니다. 그러나 이것은 우리가 자연수를 보는 것보다 훨씬 더 합성 적으로 보이기 때문에 나는 이미 여기서 긴장하고 있습니다.
어쨌든. 숫자가 어떻게 좋아하는지 나에게 명확하지 않습니다.$\pi$ 또는 $e$요소를 가질 수 있습니다. 한 가지 방법은 이러한 숫자를 시퀀스의 한계로, 유리수의 목록으로 보는 것입니다. 그러나이 숫자는 다중 시퀀스의 한계이므로 의심스러워 보이므로이 숫자를 나타내는 표준 집합이 아니라 집합의 집합입니다. 괜찮습니까, 아니면 내 추론이 깨졌습니까?
그래서 제가 묻고 싶은 것은 :
의 요소는 무엇입니까 $e$?
또는 더 미묘하게이 질문이 의미가 있습니까? 아니면 "the"라는 단어를 제거해야합니까?
답변
내 대답 인 문자열의 정확한 비트는 무엇입니까? 글쎄, 그것은 당신이 그것을 코딩하는 방법에 달려 있습니다. UTF-8 또는 UTF-16 또는 ASCII 일 수 있습니다. 문자열을 null 종료 시퀀스로 나타내는 브라우저를 사용하거나 더 정교한 유형의 객체 일 수 있습니다.
요점은 여러분이 지금 읽고있는이 텍스트 문자열은 컴퓨터 메모리의 비트 시퀀스가되기위한 수많은 방법을 가지고 있다는 것입니다.
마찬가지로 실수는 대부분의 사람들이 일반적으로 생각하는 것처럼 추상적 인 실체입니다. 텍스트 문자열처럼. 설정 이론, 실제로 수학의 기초, 구현 세트 이러한 추상적 인 실체 (또는 기타 다른 기초에). 실수 인 정확한 집합은 무엇입니까? 그것은 당신이 그것들을 어떻게 구현 하느냐에 달려 있습니다.
실수의 경우 소위 표준 경로 $\sf ZFC$ (및 관련 세트 이론)은 다음과 같습니다.
- 일반적으로 Kuratowski 쌍과 같이 정렬 된 쌍의 인코딩을 수정합니다.
- 사용하다 $\omega$, 최소 무한 서수로 자연수를 모델링합니다.
- 밝히다 $\Bbb Z$ 몫으로 $\omega\times\omega$ 대수적 방식으로.
- 밝히다 $\Bbb Q$ 몫으로 $\Bbb{Z\times Z}$ 대수적 방식으로.
- 밝히다 $\Bbb R$ 완성으로 $\Bbb Q$, 집합 이론의 경우 Dedekind 컷을 통해 다소 자연 스럽습니다.
이 경우 요소 $e$또는 실제로 모든 실수는 다음보다 작은 유리수입니다. $e$. 그러나 유리수는 무엇입니까? 음, 그것들은 정수 쌍의 집합입니다. 그 자체는 유한 서수 쌍의 집합이며, 그 자체는 상당히 잘 이해 된 구조를 가지고 있습니다.
그러나 이것이 실수를 인코딩하는 유일한 방법은 아닙니다. 순서 쌍을 인코딩하는 다른 방법을 선택하거나 유리수의 코시 시퀀스의 등가 클래스를 사용하여 코시 완성을 사용할 수 있습니다. 정수를 다르게 인코딩하거나$\omega$ 음이 아닌 유리수에 적용한 다음 음수 만 소개합니다.
실수를 세트로 인코딩하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 사실 우리는 어떤 크기의$2^{\aleph_0}$, "표준 경로"를 실행 한 다음 bijection을 사용하여이 인코딩을 만듭니다. 집합 이론에서 실수는 종종 다음과 같이 간주됩니다.
- 하위 집합 $\omega$.
- 기능 $\omega$ ...에 $\omega$.
- 기능 $\omega$ ...에 $2$.
- 위 세트의 일부 조합.
이것은 상황에 따라 다릅니다. 읽고있는 문자열이 어떤 방식으로 표현되는지에 대한 질문과 마찬가지로 사용중인 브라우저, 사용중인 운영 체제 등에 따라 다릅니다.
따라서 귀하의 질문에 대한 요소는$e$? 음, 그것은 어떤 세트가$e$.
Dedekind 에 따라 모든 실수를 가장 큰 요소가없는 합리적 합리적 하위 집합으로 모델링 해 보겠습니다. 그때$$e=\{x\in\mathbb Q:x<2.7\dots\}=\left\{\frac01,\frac11,-\frac11,\frac21,-\frac21,\frac12,-\frac12,-\frac31,\frac13,-\frac13,\frac23,-\frac23,\frac32,-\frac32,-\frac41,\dots\right\}$$
실수를 정의하는 방법에 따라 다릅니다.
코시 열 방법 레알를 정의는 더 데데 킨트 접근법보다 약간 복잡하다. 이 정의에서 실수는 유리수의 코시 시퀀스의 등가 클래스입니다.
이것은 요소가 단일 코시 시퀀스임을 의미합니다. $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 수렴하는 유리수의 $e,$ 또는 덜 주기적으로 주어진 경우 :
$$e_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$$ 우리는 $(x_n)_{n=1}^{\infty}\in e$ 만약 $x_n-e_n\to 0.$
이미 표준 건설 $\Bbb Z$ ...에서 $\Bbb N$귀하의 임시 아이디어와는 다릅니다 (하지만 훨씬 더 간결함). 우리는 그 과정에서 쌍과 등가 관계를 많이 사용할 것입니다. 따라서 쌍에 대해 Kuratowski의 정의를 사용할 수 있음을 기억하십시오.$$ (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}$$ 자연수 쌍의 등가 클래스 집합으로 정의합니다. $$\Bbb Z:=\Bbb N^2/{\sim}$$ 어디 $$ (a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c.$$ 그리고 우리는 주입 $\Bbb N\to \Bbb Z$ 통하다 $n\mapsto \overline{(n,0)}$. 이것으로$0\in\Bbb Z$ 세트입니다 $$\tag1\{\,(n,n)\mid n\in\Bbb N\,\}=\{\,\{\{n\}\}\mid n\in\Bbb N\,\}=\{ \{\{\emptyset\}\}, \{\{ \{\emptyset\} \}\}, \{\{\{ \{\emptyset,\{\emptyset\}\} \}\}\},\ldots\} $$ 이미 훨씬 더 복잡합니다. $0=\emptyset\in\Bbb N$ 우리는 전에했다.
다음으로 일반적으로 $\Bbb Q$ 정수 쌍의 등가 클래스로, $$ \Bbb Q:=\Bbb Z\times(\Bbb Z\setminus 0_{\Bbb Z})/{\sim}$$ 이번에는 어디 $$(a,b)\sim (c,d)\iff ad=bc. $$ 그리고 우리는 주입 $\Bbb Z\to \Bbb Q$ 통하다 $k\mapsto \overline{(k,1)}$.
현실에 도달하는 몇 가지 방법이 가능합니다. Dedekind 컷을 제안하고 싶지만 Dedekind의 원래 작업 (이성 세트 쌍) 외에는 단일 세트의 이성 세트 (특정 속성 포함) 만 사용하는 것이 좋습니다.$$\Bbb R:=\{\,A\in\mathcal P( \Bbb Q)\mid A\ne\emptyset\land A\ne\Bbb Q\land \forall x\in A,\exists y\in A, y>x\land \forall x\in A,\forall y\in \Bbb Q,y<x\to y\in A\,\}.$$
이를 통해 $\pi$ 단순히 모든 유리수 $<\pi$ (예 : $3$ 또는 $\frac{22}7$ 또는 $-42$). 특히$0$ 그런 요소이지만 그렇지 않습니다 $0=0_{\Bbb N}=\emptyset$, 또는 $0_{\Bbb Z}$ 에 설명 된 $(1)$ 위, 분수의 등가 클래스 $\{\,(0_{\Bbb Z},n)\mid n\in\Bbb Z, n\ne0_{\Bbb Z}\,\}$.