솔루션 없음 $x_1x_2x_3x_4 = 770$

Question

질문 : Let $N$ 방정식의 모든 적분 솔루션의 집합 $x_1x_2x_3x_4 = 770$. 찾기$N$

그래서이 질문에 저는 사례를 사용했습니다. 소인수 분해를 사용하면 요인이$7 , 2 ,5 ,11$.

사례 1 : 언제$x_1,x_2,x_3,x_4$ 아르 $7 , 11 , 5 ,2$ 모든 순열에서 배열 방법 수 :$4!$

사례 2 : 두 개의 숫자가 이미 곱해진 경우. 전의.$7,11,10,1$ 여기서 먼저 두 개의 숫자를 선택한 다음 정렬해야합니다.${4 \choose 2} \cdot 4!$

사례 3 : 두 숫자의 쌍을 곱할 때. 전의.$77 , 10 , 1 , 1$ 여기에서 두 가지를 선택하고 정리해야합니다.${4 \choose 2} \cdot \frac{4!}{2!}$

사례 4 : 세 숫자를 곱한 경우. 전의.$7 , 110 , 1,1$ 여기에서 세 개의 숫자를 선택하고 정렬해야합니다.${4 \choose 3} \cdot \frac{4!}{2!}$

사례 5 : 하나의 숫자가$770$ 그리고 나머지는 $1$ 다음 배열 방법은 $4$

따라서 총 방법 ($N$) $= 292$. 그러나 대답은 다음과 같습니다.$256$. 어떤 경우를 놓쳤 으며이 질문에 접근하는 더 좋은 방법이 있습니까? 어떤 도움을 주시면 감사하겠습니다!

Answer 1

귀하의 사례 3이 올바르지 않습니다. $4 \choose 2$ 두 개의 소인수를 결합하는 방법의 수이지만 $77,10,1,1$ 두 번, 한 번 선택하면 $7,11$ 둘을 위해 그리고 당신이 선택할 때 한 번 $2,5$. 이것은 사례를 다음과 같이 나눕니다.$2$. 그 수정은 합계를 줄이고 답 이 나오기 때문에 당신은 잘못 추가했을 것입니다$256$ 바라는대로.

Answer 2

여러 사례를 만들지 않고 문제를 해결하는 더 간단한 방법이 있습니다.

수 $770$, 당신이 올바르게 말했듯이, $2,5,7$ 과 $11$소인수이기 때문입니다. 양의 정수$x_1$,$x_2$,$x_3$,$x_4$ 이러한 요소의 조합으로 존재해야합니다.

허락하다 $a_1$, $a_2$,$a_3$, $a_4$각 숫자에서 2의 지수를 나타냅니다. 마찬가지로$b_n$, $c_n$ 과 $d_n$각각 5, 7 및 11의 지수로. 2의 지수를 고려하십시오.$x_n$s와 각각의 지수 2의 합 $x$ 숫자 770의 총 지수 2와 같아야합니다. 따라서 방정식을 얻습니다.

$$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 1$$

다른 지수와 마찬가지로

$$b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 1$$ $$c_1 + c_2 + c_3 + c_4 = 1$$ $$d_1 + d_2 + d_3 + d_4 = 1$$

이러한 방정식에 대한 해의 수에 대한 공식은 잘 알려져 있으며 다음과 같습니다. $\binom{4+1-1}{1} = 4$ 이것들은 $4$ 이러한 연립 방정식을 통해 우리는 해의 총 개수가 $4^4 = 256$.

실제로이 방법을 확장하여 다음 형식의 방정식을 풀 수 있습니다. $x_1.x_2.x_3....x_n = k$ 숫자의 소인수를 아는 한 $k$.