소수 및 gcd [중복]

Question

나는 단지 문제에 대해 확인하고 싶었습니다.

허락하다$m, p= \text{prime}∈ ℕ-\{0\}$

만약 $$m≤p^k,$$

다음이 존재합니까? $$\gcd⁡(m,p)≠1⟺ \gcd⁡(m,p^k)≠1$$ 그리고 제한을 $$m≤p^k$$ 존재에 문제가 있습니까?

미리 감사드립니다 !!!

Answer 1

$m \le p^k$필요하지 않습니다. gcd 인 경우$(m,p) \neq1$ 그때 $m$ 과 $p$ 공통 요소를 공유해야합니다. $p$ 이다 $p$ (그리고 하나, 그러나 우리는 그것에 대해 걱정할 필요가 없습니다) 적어도 $p$ 의 요인이어야합니다 $m$. 이제 gcd를 보면$(m,p^k)$ $p^k$ 요인을 가질 것입니다 $p$ 그리고 우리는 이미 알고 있습니다 $m$ 요인이 $p$ 따라서 gcd$(m,p^k) \neq1$ 적어도 다음과 같아야합니다. $p$. 어떤 시점에서도 우리는$m \le p^k$.