수학적 CNOT 해석
나는 CNOT이 타겟 큐 비트의 진폭을 $b^2$ 어디 $b$ 이다 $|1\rangle$제어 큐 비트의 진폭. 이렇게하면 타겟 큐 비트의 최종 (CNOT 이후) 상태는 다음과 같습니다.$$ \sqrt{a_1^2 a_2^2 + b_1^2 b_2^2} \big|0 \big\rangle + \sqrt{a_1^2 b_2^2 + b_1^2 a_2^2} \big|1 \big\rangle $$ (직관은 확률로 $a^2$ 뒤집기가 없으며 확률 적으로 $b^2$플립 발생) 그러나 실제로 대상 큐 비트에 이러한 공식을 두 번 순차적으로 적용한 후에는 이러한 큐 비트가 초기 상태로 끝나지 않습니다. 그래서 상한 해석이 잘못되었거나 어딘가에서 수학을 실수했습니다. 내 해석이 잘못된 경우 올바른 해석을 제공해 주시겠습니까? 그것이 맞다면 확률 용어로 그것을 도출하고 CNOT 단일 행렬이 어떻게 작동하는지 이해하도록 도와주세요.
답변
단일 CNOT 작업의 경우 가장 간단한 접근 방식은 부울 논리 측면에서 생각하는 것입니다. 수학적으로 이것은 일반적으로 CNOT의 동작을 다음과 같이 제공하는 모듈 식 추가로 표시됩니다.$$\vert A, B \rangle \rightarrow \vert A, A \oplus B \rangle,$$ 어디 $\vert A, B \rangle$ 텐서 곱입니다 $\vert A \rangle$ 과 $\vert B \rangle$, 및 $\oplus$ 덧셈 모드 2입니다. 이것이 외국어 보인다면 $2 \times 2$진리표를 보면 여기에 복잡한 것이 없다는 것을 알 수 있습니다 (익숙하지 않은 표기법 제외). 또한 쉽게 볼 수 있습니다.$A \oplus A \oplus B = B$, 순차적 적용 후 예상되는 결과를 제공합니다.
또 다른 접근 방식은 선형 대수의 도구를 사용하고 CNOT을 단일 변환으로 표현하는 것입니다. CNOT은 2- 큐 비트 연산이므로 변환 차원은 다음과 같습니다.$2^2=4$, 기부 $$\vert A, B \rangle \rightarrow U_{CNOT}\vert A,B \rangle, \;\;\; U_{CNOT}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0 \end{bmatrix}.$$ 작동 이유에 대해 혼동이있는 경우 손으로 작업 할 가치가 있습니다. $U_{CNOT}{}^2=I$.
OP 방정식에 내포 된 문제가있는 가정 중 하나는 $\vert A \rangle$ 과 $\vert B \rangle$일반적으로 사실이 아닌 CNOT 후에 분리 가능합니다. 즉,$\vert A \rangle$ 과 $\vert B \rangle$CNOT 뒤에 얽혀 있으면 더 이상 순수 상태의 선형 조합으로 표현할 수 없습니다. 이 시점에서 밀도 행렬은 일련의 다중 큐 비트 게이트 이후에 기하 급수적으로 큰 벡터를 처리하지 않도록 관련됩니다.
댓글에 대한 응답으로 수정 :
논리적으로 해석하면 두 큐 비트 상태의 측정 결과간에 고전적인 상관 관계가 나타납니다. Bell과 CHSH 실험은 얽힌 큐 비트 상태가 고전적으로 상관 관계가 없음을 의심 할 여지없이 보여주었습니다.
따라서 적어도 CNOT이 얽힘을 만드는 경우에는 해석이 실험과 일치하지 않습니다. 안타깝게도이 주제에 대한 한 세기의 논쟁이 있긴하지만 올바른 해석이 무엇인지 (또는 그러한 해석이 존재하더라도) 여전히 명확하지 않습니다. 더욱 안타깝게도 실험과 일치하는 수많은 그럴듯한 해석 이 있습니다.