술어 논리 및 추론

Sep 26 2020

주어진 세 개의 술어가 아래에 제시되어 있다고 가정하십시오.

$H(x)$: $x$ 말이다

$A(x)$: $x$ 동물이다

$T(x,y)$: $x$ 의 꼬리입니다 $y$

그런 다음 술어 논리 표현식을 사용하여 다음 추론을 추론으로 변환하고 추론이 유효한지 여부를 증명합니다 (예 : 자연 추론 사용).

말은 동물입니다.

말의 꼬리는 동물의 꼬리입니다.

내 생각 : 술어 논리 표현을 번역하는 데 꽤 능숙하지만 여기서는 말의 꼬리에 대한 공식을 찾기 위해 고심했습니다. 내 초기 아이디어는 "w는 말의 꼬리입니다"와 같은 유사한 문장을 고려하여 필요한 추론을 구성하는 것이었지만 성공하지 못했습니다. 이 작업에 대한 귀하의 아이디어를 환영합니다.

답변

1 Taroccoesbrocco Sep 26 2020 at 14:48

레몬 트리에서 올바르게 제안한대로 https://math.stackexchange.com/a/3840664/288417, "말의 꼬리는 동물의 꼬리"는 다음과 같이 공식화 될 수 있습니다. $\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to A(y) \big)$ 더 정확하게는 $\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)$.

물론, 논쟁

$\frac{\text{Horses are animals}}{\text{Horses' tails are tails of animals}} \quad \text{i.e.} \quad \frac{\forall y (H(y) \to A(y))}{\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)}$

유효합니다. 먼저 비공식적 인 증거를 제공합니다.

우리는 그것을 증명하고 싶습니다 $\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)$, 가설 아래 $\forall y (H(y) \to A(y) )$. 자, 임의의 개인을 수정합시다$x$ 과 $y$ 그리고 그것을 가정합시다 $H(y) \land T(x,y)$, 우리는 $A(y) \land T(x,y)$. 가설에 의해$\forall y (H(y) \to A(y) )$, 그 후 $H(y) \to A(y)$ 특정을 위해 보유 $y$우리는 선택했습니다. 또한, 우리는$H(y) \land T(x,y)$ 특히 $H(y)$보류. modus ponens에 의해 ,$H(y) \to A(y)$ 과 $H(y)$ 그것은 다음과 같다 $A(y)$. 또한 우리는$H(y) \land T(x,y)$, 특히 $T(x,y)$보류. 그래서,$A(y) \land T(x,y)$. 따라서 우리는 임의의$x$ 과 $y$, 만약 $H(y) \land T(x,y)$ 그때 $A(y) \land T(x,y)$. 그러므로,$\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)$ 가설하에 유지 $\forall y (H(y) \to A(y))$.

다음과 같이 자연 추론으로이 증명을 공식화 할 수 있습니다.

$$ \dfrac {\dfrac {\dfrac {\dfrac{\dfrac{\forall y (H(y) \to A(y))}{H(y) \to A(y)}\forall_\text{elim} \qquad \dfrac{[H(y) \land T(x,y)]^*}{H(y)}\land_\text{elim}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}{A(y)}\to_\text{elim} \quad \dfrac{[H(y) \land T(x,y)]^*}{T(x,y)}\land_\text{elim}} {A(y) \land T(x,y)}\land_\text{intro}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! } {(\!\!\!\!\!\!\!\!H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))} \to_\text{intro}^*\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! } {\dfrac {\forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)} {\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)} \forall_\text{intro} } \forall_\text{intro} $$

2 lemontree Sep 26 2020 at 08:52

힌트 :

"$x$ 이다 $P$'s tail'은 $x$ 의 꼬리입니다 $y$ 과 $y$ 이다 $P$.

"말의 꼬리는 동물의 꼬리입니다"는 모든 꼬리에 대해 $x$ 및 꼬리 운반자 $y$, 꼬리가 말의 꼬리라는 것은 꼬리가 동물의 꼬리라는 것을 의미합니다. $P$'s tail'은 위의 정의를 삽입합니다).