supremum의 정의

Sep 07 2020

Real Analysis에서 학부 텍스트에 대한 관찰에 당황했습니다. supremum과 infimum의 개념은 주제에 대해 신선한 학생들에게는 특히 이해하기 쉽지 않으며, 세트의 최대 값과 최소값 (존재하지 않을 수도 있다는 사실 포함)을 이해하는 것이 훨씬 더 쉽습니다. 상한의. 해야 할 일은 다음과 같은 간격을 지정하는 것입니다.$[0,2]$ 과 $[0,2)$ 그리고 숫자 2와 숫자 3에 대해 이야기합니다. 따라서 집합의 최소 상한을 정의하는 것이 어떻습니까? $S$ (정렬 된 필드에서)에 대한 모든 상한 집합의 최소 (존재)로 $S$?

저는 Real Analysis를 위해 많은 학부 텍스트를 조사했지만이 간단한 정의 나 "최소"라는 단어를 언급 한 적이 없습니다. 그들 중 대부분은 "상한이며, 그보다 엄격하게 작은 숫자에 대해서는 등이있을 것입니다."라는 훨씬 더 어려운 방법으로 그것을 정의 할 것입니다. 몇몇은 말할 것입니다 : 상한선입니다$M$ 그런 경우 $x$ 상한, 그러면 $M\leq x$. 다시, "모든 상한값 집합의 최소값"이라고 말하지 않겠습니까? 어떤 사람들은 "최소 상한"이라고 말할 것입니다. 그러나 이것은 최소에서 최소로 언어를 변경하는 것입니다. 어떤 경우에는 개념의 이름으로 "최소 상한"을 사용한 다음 계속 정의합니다. 복잡한 방식을 사용합니다.

나는 이것을 토론의 주제로 게시하려는 것이 아니라, 최고를 그렇게 정의하는 것이 왜 좋은 생각인지를 설명 할 중요한 것을 놓치고 있는지에 대한 진정한 질문으로 만 게시합니다.

답변

EduardoMagalhães Sep 07 2020 at 22:03

나는 그것이 "최소 상한"이라고 말하는 것과 "모든 상한의 집합의 최소"라고 말하는 것 사이에 차이가 없다고 생각합니다.

허락하다 $S$ 세트로하자 $M$모든 상한의 집합입니다. 그런 다음 두 가지 가능한 경우가 있습니다.$\exists \max S$ 또는 $\nexists \max S$:

$\exists \max S$:

만약 $\exists \max S$, 그러면 이것은 $\forall s \in S, s \leq \max S$, 따라서 이것은 $\max S \in M$.

자, 가정 해 봅시다 $\max S$ 최소값이 아닙니다. $M$. 이는 다음을 의미합니다.$\exists m \in M: m < \max S$. 그때,$\forall x \in S, x \leq m$, 때문에 $m$또한 상한입니다. 그러나$\max S \in S$, 그래서이 menas $\max S \leq m$. 정의 속성$m$ 였다: $m \in M: m < \max S$. 그래서 이것은 모순입니다. 이것은$\max S$ 실제로 최소 $M$ 따라서 $\sup S = \min M = \max S$.

$\nexists \max S$:

이제 가정합시다 $\nexists \max S$. 허락하다$M$ 모든 상한의 집합입니다.

가정 해 봅시다 $\nexists \min M$. 이것은$\nexists m \in M: \forall x \in M, m \leq x$. 이것은$a_1 \in M$, 다음 $\forall s \in S$: $s \leq a_1$. 하지만$a_1$ 최소가 아닙니다 $\exists a_2 \in M: s \leq a_2 \leq a_1$. 우리가 원하는대로 임의로 가까워 질 수 있음을 의미합니다.$s$. 그러면 시퀀스를 찾을 수 있습니다.$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ 그런 $\lim _n a_n = s$.

이제 $s_1, s_2 \in S$ 그런 $s_1 < s_2$. 그런 다음 시퀀스를 찾을 수 있습니다.$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ 그런 $\lim _n a_n = s_1$. 그러나 우리는 임의로 가까이 갈 수 있기 때문에$s_1$, 이것은 의미 $\exists k \in \Bbb N:$ 만약 $n \geq k$ 그때 $s_1 < a_n < s_2$. 이것은 모순입니다.$a_n \in M$상한입니다. 이것은$\exists \min M$.