숫자로 보는 법 위반

Question

특수 요원 벤 포드 (Benford)는 잘못된 창의적 회계 세 번째 미해결 사건으로 인해 어려움을 겪었으며 사기 번호 태스크 포스에서 자발적으로 은퇴 할 것입니다. 숫자 항목의 첫 번째 숫자 만 계산하여 위조 된 원장을 감지하는 Benford의 능력은 너무나 유명해서 법이 우리의 최고 영웅의 이름을 지닙니다.

벤 포드의 법칙 : 정직한 회계 시트에서 모든 숫자 항목의 거의 1/3의 첫 번째 숫자는 '1'이어야하며 '2'또는 다른 숫자보다 훨씬 더 많습니다. 각 숫자의 첫 번째 숫자의 개수는 '9'가 가장 적은 숫자의 첫 번째 숫자 인 감소하는 패턴에 맞습니다.

이 방법론은 대부분 십진수를 저글링하는 부도덕 한 회계사로서 수십 년간의 서비스를 통해 Benford에게 도움이되었습니다 . 그러나 수년에 걸쳐 두 건은 다른 번호 체계와 관련이 있었기 때문에 크랙이없는 상태로 남아있었습니다. 모든 양의 정수는 의심됩니다.

1. 미해결 사례 1. 가장 오래된 알려진 번호 체계를 인식 한 Benford는 첫 번째 숫자가 유죄 판결로 이어지지 않는다는 것을 알고있었습니다.

2. 미해결 사례 2. Benford는이 번호 체계를 거의 모든 현대 컴퓨터에서 사용하는 것으로 인식하고 첫 번째 숫자에 단서가 없음을 다시 인정해야했습니다.

마침내 아아, 최근 사건이 나왔습니다.

1. 미해결 사례 3. Benford는 이전에이 번호 체계를 접한 적이 없었지만 항목을보고 "법률"을 무시할 것임을 깨달았습니다. 포기하기 전에 Benford는 동일한 비정상적인 번호 매기기 시스템이 수세기 동안 학자 계에서 드물기는하지만 실제로 일부 영리하게 효율적인 디지털 컴퓨터의 기초가되었다는 사실을 알게되었습니다.

Cases One, Two, Three의 번호 체계는 무엇이며 왜 그렇게 불법입니까?

현상금 챌린지 : 다음 중 Benford의 후임 특수 요원이 항목의 두 번째 숫자를 세어 더 성공할 수있는 경우는 무엇입니까? 예상되는 숫자 빈도는 얼마입니까?

_{(파울 한 말장난은 없습니다.)}

Answer 1

대답은 다음과 같다고 생각합니다.

사례 1 :

단항 , 탈리 산술이라고도합니다. 각 숫자는 여러 기호 (일반적으로 숫자 1과 유사한 수직 슬래시 표시)로 제공되므로 첫 번째 "숫자"는 항상 동일합니다. 물론 이것은 가장 오래된 계산 방법입니다.

사례 2 :

바이너리 . 다시 말하지만, 모든 숫자의 첫 번째 숫자는 1이므로 Benford의 법칙은 도움이 될 수 없습니다. 바이너리는 대부분의 최신 컴퓨터 아키텍처의 기초입니다.

사례 3 :

균형 잡힌 삼항 . 균형 삼진에서 숫자는 1, 0 및 -1이고 모든 양수의 첫 번째 숫자는 항상 1입니다. 균형 삼진이 특정 수학 연산을 더 효율적으로 만들고 일부의 기초로 사용 된 몇 가지 이론적 이유가 있습니다 과거의 소련 컴퓨터.

보너스:

두 번째 자릿수를 보면 이진 및 균형 삼진 경우에 통계적 편향이 제공되지만 단항 경우에는 그렇지 않습니다. 이진 사례의 경우 Wikipedia 에서 제공하는 분포의 간단한 일반화를 사용 하여 두 번째 숫자가 0 일 확률은 다음과 같습니다.$\log_2(3) -\log_2(2)$, 이는 약 58.5 %입니다.

균형 잡힌 삼항의 경우 두 번째 숫자의 분포는 삼진과 비슷해야하지만 미묘하게 다릅니다. 이를 달성하기 위해 균형 잡힌 삼항 분포를 정규 삼항 분포와 관련시킬 것입니다. 정규 삼항 분포에서 숫자가 다음으로 시작할 확률$n$ (숫자 문자열)은 $\log_3(n+1) - \log_3(n)$.

표현의 편의를 위해, 우리는 정수의 무한대를 살펴보면 사라지는 규칙에 한정된 수의 예외가 있기 때문에 균형 잡힌 삼진 숫자가 3 개 미만인 숫자는 무시할 수 있습니다. 또한 기호를 사용합니다.$+$, $\cdot$ 과 $-$ 균형 잡힌 삼진수를 위해.

두 번째 숫자가있는 경우를 먼저 살펴 보겠습니다. $-$. 삼항으로 변환하면$[+ - - , + - +] \equiv [12,21]$, $[+ - - -, + - + +] \equiv [112,211]$, $[+ - - - -, + - + + +] \equiv [1112,2111]$, 등등. 따라서 균형 잡힌 삼항 숫자의 두 번째 숫자는$-$ 해당 삼항 숫자가 다음으로 시작하는 경우에만 $12$, $112$, $1112$, $\ldots$; $20$; 또는$21$,로 시작하는 경우를 제외하고 $212$, $2112$, $21112$, $\ldots$. 이것이 발생할 확률을 얻기 위해 정규 삼항 범위에 대한 Benford 분포의 모든 관련 확률을 더합니다. 은 Using 마그마 계산기 것은 , 우리는 대략적인 확률을 46.5 %을 구하십시오.

이제 두 번째 숫자가 $\cdot$. 위와 같이이 조건을 충족하는 균형 삼진 숫자에 대해 동등한 삼진 숫자는 다음을 충족합니다.$[ + \cdot - , + \cdot + ] \equiv [22 , 101]$ , $[ + \cdot - -, + \cdot + +] \equiv [212 , 1011]$, $[ + \cdot - - -, + \cdot + + +] \equiv [2112 , 10111]$, 등등. 따라서 이전과 마찬가지로 균형 잡힌 삼항 숫자에는 두 번째 숫자가 있습니다. $\cdot$ 해당 삼항 숫자가 다음으로 시작하는 경우 $212$, $2112$, $21112$, $\ldots$; $22$; 또는$10$,로 시작하는 경우를 제외하고 $102$, $1012$, $10112$, $\ldots$. 이것은 약 30.63 %의 확률을 산출합니다.

두 번째 자리 $+$, 우리는 이전 결과를 더하고 1에서 뺄 수 있지만 수표로 같은 방식으로 계산합시다. 위와 같이 우리는$[ + + - , + + + ] \equiv [102 , 111]$ , $[ + + - -, + + + +] \equiv [1012 , 1111]$, $[ + + - - -, + + + + +] \equiv [10112 , 11111]$. 따라서 두 번째 균형 잡힌 삼항 숫자는$+$ 해당 삼항 숫자가 다음으로 시작하는 경우 $102$, $1012$, $10112$, $\ldots$; 또는$11$,로 시작하는 경우 제외 $112$, $1112$, $11112$, $\ldots$. 위와 같이이 확률의 합은 22.87 %입니다.

비교를 위해 일반 삼항의 두 번째 자릿수 확률은 40.22 %, 32.47 % 및 27.32 %입니다. $0$, $1$ 과 $2$, 각각.