통합 변수 변경에 대한 혼란

Question

내가 계산하고 싶다고 가정하자

$$\int_{0}^{2\pi} f(x) \, dx$$

일부 연속 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. 그런 다음 변수를 변경하면$u = \sin x$, 나는 얻다:

$$\int_{u(0)}^{u(2\pi)} f(u(x)) \cdot \, u'(x) \, dx = \int_{\sin 0}^{\sin 2\pi} f(\sin x) \, \cos x \, dx = \int_{0}^{0} f(\sin x) \, \cos x \, dx = 0.$$

분명히 여기에서 뭔가 잘못되고 있습니다. 사실이 아닙니다. $\int_{0}^{2\pi} f(x) \, dx = 0$ 모든 $f$. 하지만 결함이 어디에 있는지 알아낼 수없는 것 같습니다! 내가 아는 한$u = \sin x$변수의 완벽하게 법적 변경입니다. 누가 무슨 일이 일어나고 있는지 밝힐 수 있습니까? 어떤 제안이라도 대단히 감사하겠습니다.

Answer 1

변수를 변경하려면 함수 이형성이 필요하므로 일대일 함수 여야합니다. $[0,2\pi] $ 그리고 $\sin$ 함수가 아니고, 당신이 만든 변수의 변경은 $u=\sin{x} $, 의미하는 것은 $du=\cos x dx$ 그래서 $\int \frac{f(\arcsin(u))}{\cos(\arcsin(u))}du=\int \frac{f(\arcsin(u))}{\sqrt{1-u^2}}du$