토폴로지 그룹이란? $ \mathbb{R}^n\ $

Question

다른 문제에 대해 작업하는 동안 나는 토폴로지 그룹의 아이디어를 사용해야합니다. $ \mathbb{R}^n\ $. 온라인 정의는 "$ \mathbb{R}^n\ $추가 된 토폴로지 그룹입니다.”

무엇의 추가? 그룹의 요소는 무엇입니까? 그들이 어떻게 추가하는지 분명할까요?

흥미롭게 만들기 위해 토폴로지 그룹에 관한 동일한 질문이 있습니다. $\ S^1 $.

간단하게 유지하십시오. 나는 전문가가 아닙니다.

Answer 1

무엇의 추가? 그룹의 요소는 무엇입니까? 그들이 어떻게 추가하는지 분명할까요?

만약 $\mathbb R^n$ 그룹, 다음 요소 $\mathbb R^n$그룹의 요소입니다. 벡터를 추가 한 경험이 있다면이 그룹의 요소를 추가하는 방법을 알아낼 수 있습니다.

$S^1$ 는 절대 값이 1 인 복소수의 곱셈 그룹입니다. 복소수의 곱셈, 특히 지수 형식에 익숙하다면 이것은 또한 간단합니다.

위상 공간이 무엇인지 모르는 경우 "위상"부분을 이해하기 어려울 것입니다.

Answer 2

모든 것을 꼼꼼하게 확인하지 않고 직관적으로 $+:\Bbb{R}^n\times \Bbb{R}^n\to \Bbb{R}^n$일반적인 방법으로 주어집니다. 한 쌍의 벡터가 주어지면$v=(x_1,\ldots, x_n)$ 과 $(y_1,\ldots, y_n)=w$, $$ +(v,w)=v+w.$$ 우리는 (대수학에서) 이것이 아벨 그룹 구조를 정의한다는 것을 알고 있습니다. $\Bbb{R}^n$, 그러나 더 많은 것이 사실입니다. 사실, 쉽게 알 수 있습니다.$+$ 지도처럼 연속적 $\Bbb{R}^n\times \Bbb{R}^n\to \Bbb{R}^n$. 이 때문입니다$+$ 구성 요소별로 제공됩니다. $(x_i,y_i)\mapsto (x_i+y_i)$, 이는 연속적입니다 (실제로 부드럽습니다). 또한 역전 맵 (벡터를 가산 적 역으로 전송)이 연속적 인지도 확인해야합니다.$$ (x_1,\ldots, x_n)\mapsto (-x_1,\ldots,-x_n),$$ 연속적입니다.

원은 볼 수 있습니다 $S^1\subseteq \Bbb{C}^\times$곱셈에서 하위 그룹으로. 우리가$S^1$ 같이 $e^{i\theta}$ ...에 대한 $\theta \in \Bbb{R}$ 그룹 작업이 다음과 같이 제공된다는 것이 분명해집니다. $(e^{i\theta},e^{i\psi}) \mapsto e^{i\theta}e^{i\psi}=e^{i(\theta+\psi)}$. 이것이 다시 연속적인지 확인할 수 있습니다. 반전 맵은 복잡한 활용의 제한으로 볼 수 있습니다.$S^1$. 즉$z\mapsto \overline{z}$. 이지도는$\Bbb{C}$ (로 간주 $\Bbb{R}-$벡터 공간)이므로 연속적입니다. 연속지도로 제한$S^1\to S^1$ 각도 표현으로 주어진 $e^{i\theta}\mapsto e^{-i\theta}$.