왜 Bloch 구체의 3 차원?

Question

특정 상태 벡터의 확률 분포를 나타 내기 때문에 2 차원 블로흐 원 뒤에있는 직관을 이해할 수 있습니다. 그러나 확률과 관련하여 3 차원이 시각화에 추가하는 것이 무엇인지 이해하지 못합니다. 어떻게 도움이 되나요? Bloch 서클이하지 않은 모델에 무엇을 추가해야합니까?

길이는 항상 1이므로 z 축을 추가하는 점은 무엇입니까?

Answer 1

큐비 트는 2 단계 양자 시스템이므로 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

$$ |\psi \rangle = \alpha |0\rangle + \beta|1\rangle $$

어디 $|0 \rangle$ 과 $|1\rangle$ 계산 기반이며 다음과 같이 정의됩니다. $$ |0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \ \ |1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

과 $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$. 그래서 우리는$|\psi \rangle \in \mathbb{C}^2 $그리고 당신은 생각할 수 의$\mathbb{C}^2$ 같이 $\mathbb{R}^4$. 그러나 양자 상태의 전체 단계는 중요하지 않습니다.$|\psi\rangle $ 다음과 같다 $e^{i\phi} |\psi \rangle$. 따라서이 전체 단계를$|\psi\rangle$3 개의 매개 변수 만 남았습니다. 본질적으로 지금 당신은 공간을 고려하고 있습니다$\mathbb{R}^3$. 양자 상태는 단위 표준을 가져야한다는 정규화 요구 사항과 함께, 이것은 우리가 Bloch-Sphere라고 부르는 단위 구체가되게합니다.

Answer 2

확률을 시각화하려고하는 것이 아닙니다. 확률 진폭이 제공하는 훨씬 더 풍부한 구조를 시각화하려고합니다. 단일 큐 비트의 경우 확률 진폭에는 3 개의 실제 매개 변수가 필요하므로 3 차원 공간이 필요합니다.

Answer 3

Bloch 구는 다음과 같은 확률 진폭으로 상태를 나타냅니다. $$|\psi\rangle = \cos(\theta/2)\ |0\rangle +e^{i\phi} \sin(\theta/2)\ |1 \rangle, $$ 어디 $\theta$ 과 $\phi$Bloch 구의 각도입니다. 구의 각 점은 서로 다른 상태를 나타냅니다. 다른 답변에서 언급했듯이$\cos(\theta/2) $ 과 $e^{i\phi} \sin(\theta/2) $ 상태가 상태에있을 확률이 아닙니다. $0$ 또는 $1$, 오히려 그들은 확률 진폭을 나타냅니다. 확률 진폭에서 확률을 얻기 위해 확률 진폭을 제곱합니다. 그건,$\cos^2(\theta/2) $ 과 $\sin^2(\theta/2) $ 확률이 더 해져서 $1$.

또한 각도가 $\phi$확률 표현에 나타나지 않습니다. 이것은 우리가 그냥 무시할 수 있다는 것을 의미합니까?$\phi$모두 함께? 아니요. 그렇다면 실제로 상태를 나타내는 데 2 ​​차원 구체가 필요하지 않을 것입니다.

각도를 무시할 수없는 이유 $\phi$우리가 고려한 것은 양자 역학의 중첩 원리 때문입니다. 우리가 가지고 있다고 가정합니다.$$|\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}( |0\rangle + |1 \rangle), \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\psi_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}( |0\rangle +e^{i\phi} \ |1 \rangle.$$ 그러면 중첩 원리는 중첩에서 세 번째 상태를 만들 수 있다고 말합니다. $$|\psi_3\rangle = N(|\psi_1\rangle + |\psi_2\rangle) = \sqrt{\frac{2}{3+\cos(\phi)}}\left(|0\rangle + \frac{1+e^{i\phi}}{2} |1\rangle \right) ,$$ 어디 $N$두 번째 등식에 명시 적으로 기록 된 일부 정규화 요소입니다. 어쨌든 여기의 요점은$\phi$매우 중요합니다. 예를 들어 국가의 확률$|\psi_3 \rangle$ 에있는 $|1\rangle$ 상태는, $$P(1) = \frac{1+\cos(\phi)}{3+\cos(\phi)}$$ 매우 의존하는 $\phi$. 사실이 확률은$0.5$ 언제 $\phi = 0$ ...에 $0$ 언제 $\phi = \pi$.