왜 $\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$?

Question

내 문제:

가정 $\mathcal{E}$ 과 $\mathcal{H}$ 하위입니다$\sigma$-대수학 $\sigma$-대수학 $\mathcal{F}$. 허락하다$X \in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 과 $\sigma(X)=\{X^{-1}(A): A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \}$. 한다고 가정$\mathcal{E}$ 독립적이다 $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$.

그때 $$\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$$

내 시도 :

특성화를 사용해 보았습니다. $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]Z]$ 모든 $\mathcal{H}$-측정 가능하고 제한된 랜덤 변수 또는 $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\sigma(X))]Z]$ 모든 $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$-측정 가능하고 제한된 랜덤 변수.

Answer 1

이것은 Doob에 의해 잘 알려진 결과입니다.

정리 : Let$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ 과 $\mathscr{C}$ 서브-$\sigma$-대수학 $\mathscr{F}$. $\mathscr{A}\perp_\mathscr{C} \mathscr{B}$ iff $$ \begin{align} \Pr[A|\sigma(\mathscr{C},\mathscr{B})]=\Pr[A|\mathscr{C}]\tag{1}\label{doob-independence} \end{align} $$ 모든 $A\in \mathscr{A}$.

다음은 샷 증명입니다.

한다고 가정 $\mathscr{A}$ 과 $\mathscr{B}$ 주어진 조건부 독립 $\mathscr{C}$, 그건 $$ \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr[A|\mathscr{C}] \Pr[B|\mathscr{C}] $$ 모든 $A\in \mathscr{A}$ 과 $B\in \mathscr{B}$. 그런 다음$A\in\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ 과 $C\in\mathscr{C}$ 우리는 $$ \begin{align} \Pr\big[A\cap\big(C\cap B)\big]&=\Pr\big[ \mathbb{1}_C\Pr[A\cap B|\mathscr{C}]\big]= \Pr\big[\mathbb{1}_C\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}]\big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B\cap C|\mathscr{C}]\big]= \Pr\Big[\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big|\mathscr{C}\big]\Big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big] \end{align} $$ 이후 $\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})=\sigma\Big(\{B\cap C: B\in\mathscr{B}, C\in\mathscr{C}\}\Big)$, 모노톤 클래스 인수는 $$ \begin{align} \Pr[A\cap H]=\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_H \big] \end{align} $$ 모든 $H\in\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})$. 이것은$$ \Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]=\Pr[A|\mathscr{C}] $$

반대로, $\eqref{doob-independence}$보류. 어떠한 것도$A\in\mathscr{A}$ 과 $B\in\mathscr{B}$ 우리는 \begin{align*} \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr\Big[\mathbb{1}_{B}\Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]\Big| \mathscr{C}\Big]= \Pr\Big[\mathbb{1}_B\Pr[A|\mathscr{C}]\Big|\mathscr{C}\Big] =\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}] \end{align*} 이것은 $\mathscr{A}$ 과 $\mathscr{B}$ 주어진 독립적이다 $\mathscr{C}$.

랜덤 변수에 대한 확장은 먼저 단순 함수로 확장 한 다음 단순 함수에 의한 일반적인 단조 근사에 의해 수행됩니다.