원호 길이 계산

Question

저는 현재 원호의 길이를 계산하는 단계별 예제를 통해 작업하고 있습니다. $\gamma$ 반경 $r$ 각도로 대치 $\theta_1$ 과 $\theta_2$.

원호는 다음과 같이 매개 변수화됩니다. $\gamma (t) = c + re^{it}$ ...에 대한 $\theta_1 \leq t \leq \theta_2$.

길이를 계산하려면 미분을 계산해야합니다. $\gamma'$, 즉 $\gamma'(t)=rie^{it}$.

그런 다음 길이의 정의에 따라 $$L(\gamma) = \int_{\theta_2}^{\theta_1}|rie^{it}| dt$$

나는이 시점까지 모든 것을 이해하지만, 해결책은 적분을 더 단순화하는 것으로 진행되며 이것이 왜 수행 될 수 있는지 이해하지 못합니다.

$$L(\gamma) = \int_{\theta_2}^{\theta_1}|rie^{it}| dt = r\int_{\theta_2}^{\theta_1}dt = r(\theta_2 - \theta_1)$$

확실히 통합하면 대신 다음을 얻을 수 있습니까?

$$L(\gamma) = \int_{\theta_2}^{\theta_1}|rie^{it}| dt = r\int_{\theta_2}^{\theta_1}|ie^{it}| dt = r(e^{i\theta_2} - e^{i\theta_1})$$

내가 어디로 잘못 갔는지 보여주는 도움을 주시면 감사하겠습니다!

Answer 1

$$ r\int_{\theta_{2}}^{\theta_{1}}|ie^{it}|dt \\ = r\int_{\theta_{2}}^{\theta_{1}}|i(\cos(t) + i\cdot \sin(t))|dt \\ = r\int_{\theta_{2}}^{\theta_{1}}|i\cos(t) - \sin(t)|dt $$

지금 $i\cos(t) - \sin(t)$실제 가상 축에서 단위 원을 매개 변수화합니다. 복소수의 절대 값은$|a + bi|$ 기본적으로 벡터 인 것처럼 크기입니다. $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$. 단위 원이므로 크기는 항상 1이됩니다.

$$r\int_{\theta_{2}}^{\theta_{1}}1 dt = r(\theta_{2} - \theta_{1})$$