양자 상태의 의사 역

Question

두 상태 간의 최대 상대 엔트로피는 다음과 같이 정의됩니다. $D_{\max}(\rho\|\sigma) = \log\lambda$, 어디 $\lambda$ 만족하는 가장 작은 실수입니다. $\rho\leq \lambda\sigma$, 어디 $A\leq B$ 표시하는 데 사용됩니다 $B-A$ 양의 반 정호입니다.

최대 상대 엔트로피를 표현하는 다른 방법은 다음과 같습니다.

$$D_{\max}(\rho\|\sigma) = \|\sigma^{-1/2}\rho\sigma^{-1/2}\|_{\infty},$$

어디 $\|\cdot\|_\infty$본질적으로 가장 큰 고유 값을 선택하는 연산자 표준입니다. 본질적인 아이디어는

\begin{align} \rho &\leq \lambda\sigma \\ \sigma^{-1/2}\rho\sigma^{-1/2}&\leq \lambda I \end{align}

가능한 가장 작은 것을 선택 $\lambda$ 결과는 평등하고 따라서 하나는 회복됩니다 $D_{\max}(\rho\|\sigma)$ 이 방법.

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나는 그것을 가정했다 $\sigma^{-1}$ 여기에 의해 얻어진다

1. 대각선 화 $\sigma$
2. 0이 아닌 모든 고유 값의 역수를 취하고 0 고유 값을 그대로 둡니다.
3. 비대 각화 $\sigma$ 다시.

그러나 이것은 저에게 의미가 없습니다. $\rho$ 의 지원보다 큽니다 $\sigma$, $D_{\max}(\rho\|\sigma) = \infty$. 그러나$\|\sigma^{-1/2}\rho\sigma^{1/2}\|_\infty$ 무한 할 수 없습니다.

그래서 어떻게 얻을 수 있습니까 $\sigma^{-1}$?

Answer 1

제시 한 파생물에 문제가 있습니다. $\rho \leq \lambda \sigma$ 다음과 동일합니다. $\sigma^{-1/2} \rho \sigma^{-1/2} \leq \lambda I$ 언제 $\sigma$ 가역적입니다 (또는 적어도 $\mathrm{supp}(\rho) \subset \mathrm{supp}(\sigma)$, 공간을 다음으로 제한 할 수 있습니다. $\mathrm{supp}(\sigma)$전체 힐베르트 공간 대신). 그렇지 않으면 속성이 사실이 아닙니다.$|+\rangle\langle+| \leq \lambda |0\rangle\langle 0|$ 반례로.

대체로 조건이 $\mathrm{supp}(\rho) \subset \mathrm{supp}(\sigma)$ 만족합니다. $D_{\max}(\rho \| \sigma) = \log \| \sigma^{-1/2} \rho \sigma^{-1/2} \|_\infty$.