예산 선의 기울기
예산에 대한 유틸리티 제약을 극대화하려고 할 때. 예산 선을 접선으로하는 효용 함수 또는 무차별 곡선을 찾습니다. 따라서 질문을 해결하기 위해 예산 선의 기울기를 무차별 곡선의 기울기와 동일시 할 수 있으며 최대의 효용 좌표를 얻을 수 있습니다. 상대적 가격이 양수인 경우 예산 선은 음수입니다. 어떻게 작동합니까? 왜 그들은 예산 선의 기호를 고려하지 않는가?
답변
그들은 그것을 고려합니다. 정확한 수학적 공식은 일반적으로$$ -\frac{p_1}{p_2} = \text{MRS}(x_1,x_2) $$ 또는 $$ \frac{p_1}{p_2} = \left| \text{MRS}(x_1,x_2) \right| $$ 기본적인 경우 MRS가 음수 일 때 (바구니에서 무차별 곡선의 기울기) $(x_1,x_2)$).
Giskard의 +1 답변은 맞지만 더 많은 직관을 제공하기 위해 확장하고 싶었습니다.
그들은 음수 부호를 고려하고 둘 다 음의 기울기를 가지므로 음수가 서로 상쇄되기 때문입니다. 이것은 한 재화의 소비를 계획 한 결과입니다.$x$-축 및 다른 $y$중심선. Mankiw Principles of Economics 교과서의 다음 그림을 고려하십시오.
Mankiw 교과서의 그림은 다음과 유사한 상황을 나타냅니다.
$U(x,y) = x^{\alpha}y^{\beta} \text{ s.t. } m = p_x x + p_y y$
어디 $x$ 피자의 양과 $y$ 펩시 양, $p_x$ 과 $p_y$ 각각의 가격과 $m$예산 제한. 물론 Mankiw가 유틸리티에 대해이 사양을 정확히 사용했는지 확인할 수는 없지만 여기에 구체적인 유틸리티를 추가해야했고 다른 유틸리티를 사용한다고해서 근본적으로 답이 바뀌지는 않았습니다. 예산 제약이 다음과 같이 주어 지더라도 볼 수 있습니다.
$$m = p_x x + p_y y$$
데카르트 좌표계에 플로팅하려면 분리해야합니다. $y$(펩시). 그래서 실제로 예산 선은 이것의 플롯입니다 :
$$y = \frac{m}{p_y} - \frac{p_x}{p_y}x$$
또한 무차별 곡선을 그리려면 효용을 일정하게 유지하면서 효용에 대해 똑같이해야하므로 다음과 같이됩니다.
$$U = x^{\alpha}y^{\beta} \implies y = \left( \frac{U}{x^{\alpha}}\right)^\frac{1}{\beta} $$
이제 첫 번째 경우 기울기가 선형 함수이기 때문에 음수임을 쉽게 알 수 있습니다. 그러나 두 번째 경우에도 기울기가 음수입니다. 에 대한 미분을 취하여 확인할 수 있습니다.$x$ 함수의 기울기를 제공하고 $dy/dx <0$. 보다 구체적으로 무차별 곡선의 기울기는 다음과 같습니다.
$$-\frac{\alpha}{\beta} \left( \frac{U}{x^{\alpha}}\right)^{\frac{1}{\beta}-1} \left( \frac{U}{x^{\alpha-1}}\right) $$
따라서 비교하는 것은 기울기가 일치해야하는 접선 점에서 무차별 곡선의 기울기에 대한 예산 제약의 기울기입니다.
$$-\frac{p_x}{p_y} = -\frac{\alpha}{\beta} \left( \frac{U}{x^{\alpha}}\right)^{\frac{1}{\beta}-1} \left( \frac{U}{x^{\alpha-1}}\right) \Leftrightarrow \frac{p_x}{p_y} = \frac{\alpha}{\beta} \left( \frac{U}{x^{\alpha}}\right)^{\frac{1}{\beta}-1} \left( \frac{U}{x^{\alpha-1}}\right) $$
따라서 여기서 두 개의 음수 값은 취소됩니다. 물론 고전 (학부) 교과서에서는 그렇게하기가 너무 어렵 기 때문에 그렇게하지 않을 것입니다.$MRS$ (무차별 곡선의 기울기와 동일) Giskards 답변이 적용됩니다.
그러나 귀하의 답변 뒤에있는 근본적인 직관적 인 이유는 단순히 예산 제약과 무차별 곡선이 모두 음의 기울기를 가지기 때문입니다. 사진을 보면 알 수 있습니다. 둘 다 단조롭게 감소하여 기울기가 음수입니다. 두 경사를 정확히 도출하는 방법에 따라 이미 음수 기호를 취소 할 수 있기 때문에 계산에서 항상이를 볼 수있는 것은 아닙니다. 예를 들어, 일반적인 교과서는 가격 비율을 비교하라고 알려줍니다.$p_x/p_y$ 무차별 곡선의 기울기와 같지만 절대 값에 해당하는 한계 대체율.