유한 그룹의 순위와 그 표현
$\DeclareMathOperator\Rep{Rep}\DeclareMathOperator\rank{rank}$허락하다 $G$ 유한 그룹이어야하며 $C=\Rep(G)$ 복잡한 유한 차원 표현의 단일 범주 $G$. 같이$C$ 유한하고 반 단순합니다. 모든 표현을 얻을 수 있습니다. $\oplus$ 유한 세트 $I$축소 불가능한 표현의. 고전적 성격 이론에 따르면, 사이에 (비정규) bijection이 있습니다.$I$ 과 $\mathrm{Conj}(G)$. 이 스레드에서 나는 고려하여 양쪽 사이의 bijection을 이해하기를 바랍니다.$\otimes$.
더 정확하게 말하면 $V$ 축약 할 수없는 충실한 표현 $G$. 그런 다음 모든 표현은 다음의 하위 모듈로 발생합니다.$V^{\otimes n}$ 일부 $n$(cf this and this ), 그 반대도 마찬가지입니다! 그런 다음 우리는$V$ 자체 생성 $C$ 아래에 $\otimes$그리고 코시 완성. 그러나 모든 그룹이 축소 불가능한 충실한 표현을 가지고있는 것은 아닙니다 . 같은 포스트 에서 우리는 이것이 주권의 "순위"를 주로 다룬다는 것을 알 수 있습니다.$G$.
요약하면 순위를 정의하고 $\rank(G)$, 생성에 필요한 최소 요소 수 $\mathrm{socle}(G)$활용하에. 순위를 정의하고$\rank(C)$, 생성하는 데 필요한 최소한의 축소 불가능한 요소 수 $C$ 아래에 $\otimes$그리고 코시 완성. 그때
$$ \rank(G) = 1 \Leftrightarrow \rank(\Rep(G)) = 1 $$
질문
이 동등성이 일반화됩니까?
$$ \rank(G) = n \Leftrightarrow \rank(\Rep(G)) = n, $$
각 자연수에 대해 $n$?
( 편집 Qiaochu가 주석에서 지적했듯이 이것은 Pontrjagin 이중성에 의한 유한 아벨 그룹에 해당됩니다.)
답변
귀하의 질문에 대한 대답은 '예'이며 논문 Žmud ', È의 주요 정리입니다. M. 유한 그룹의 동형 선형 표현. 매트. Sb. NS 38 (80) (1956), 417–430.
유한 그룹의 문자 245 페이지 정리 5에서 찾을 수 있습니다. 1 부. Berkovich와 Zmud. 정리는 다르지만 동등한 방식으로 표현되며 Gaschutz의 정리와 매우 유사한 방식으로 증명됩니다.
즈 무드의 정리는 다음과 같이 말합니다. $G$ 충실한 표현을 가지고 $k$ 환원 할 수없는 성분은 $G$ 기껏해야 정상 하위 그룹으로 생성 될 수 있습니다. $k$집단. 특히,$\mathrm{socle}(G)$ 일부 충실한 표현에서 환원 불가능한 구성 요소의 최소 수와 일치합니다. $G$.
이제 관찰하기에 충분합니다. $\mathrm{rank}(C)$ 충실하게 표현한 환원 할 수없는 성분의 최소 수입니다. $G$. 실제로$V$ 어떤 충실한 표현이든 Burnside 정리 (또는 R. Steinberg의 일반화)는 모든 비 환원 모듈이 다음의 텐서 거듭 제곱의 직접적인 합계임을 보여줍니다. $V$ 그래서 환원 할 수없는 구성 요소는 $V$ 일으키다 $C$텐서 곱 미만, 직접 합계 및 직접 합계 취하기. 반면에$\rho_1,\ldots, \rho_k$ 직접 합계가 충실하지 않은 환원 불가능한 표현입니다. $\ker \rho_1\cap\dots\cap \ker \rho_k$ 직접 합계, 텐서 곱 및 직접 합계를 사용하여 해당 단순 모듈에 의해 생성 된 하위 범주의 모든 모듈에 대한 ID 역할을하므로 이러한 축소 불가능한 표현은 생성 할 수 없습니다. $C$.
그러므로 $\mathrm{rank}(G)=\mathrm{rank}(C)$