A comutatividade de $I$e $Y$em um código estabilizador

Question

Deixar$P_1 = \lbrace I, -I, iI, -iI, X, -X, iX, -iX, Y, -Y, iY, -iY, Z, -Z, iZ, -iZ\rbrace$. Deixar$P_n$seja o$n$- dobra tensor de$P_1$. Diz-se que dois operadores comutam se$AB = BA$ou anti-comutação se$AB = -BA$para todos$A,B \in P_n$.

Deixe-nos ter$n=1$e$A=I$e$B=Y$, então nós temos:

\begin{align*} IY &\stackrel{\text{true}}{=} YI,\\ IY &\stackrel{\text{true}}{=} -YI. \end{align*}

Em outras palavras,$I$e$Y$tanto comutar e anticomutar. Eu também adicionei um trecho de código matlab para completar.

I = [1 0; 0 1];
Y = [0 -i;i  0];
if isequal(I*Y,Y*I)
   disp('commute') 
end
if isequal(I*Y,-Y*I)
   disp('ANTI-commute') 
end

Refiro-me à tese de doutorado de Daniel Gottesman .

o que estou perdendo?

Edit: Meu código Matlab deve executar apenas uma das instruções if (não ambas). Parece que minha máquina estava armazenando em cache as respostas anteriormente. Uma reinicialização do programa corrigiu o problema.

Answer 1

Deveria ser$IY \ne - YI$ao invés de$IY = - YI$.$$IY \ne - YI \\ \begin{pmatrix} 1&0\\ 0& 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&-i\\ i& 0 \end{pmatrix} \ne -\begin{pmatrix} 0&-i\\ i& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0& 1 \end{pmatrix} \\ Y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i& 0 \end{pmatrix} \ne -\begin{pmatrix} 0&-i\\ i& 0 \end{pmatrix} = -Y $$

então$I$e$Y$não anti-comutação. Além disso$I$anti-comuta apenas com a matriz com todos$0$entradas. Também,$I$comuta com todas as matrizes, porque por definição$IM = M = MI$, Onde$M$é uma matriz aleatória.

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Ao contrário, todos os pares de$\{X, Y, Z \}$anti-comutação entre si. Como um exemplo:

$$\{X Z \} = XZ + ZX = 0$$

Porque$XZ = -ZX$. Além disso, temos essas relações:$XY = -YX$e$YZ = -ZY$do qual podemos concluir$\{XY\} = \{ZY\} = 0$.