$A\cos(\theta) + B\sin(\theta)$ para complexo $A,B$

Question

A equação

$$A\cos(\theta) + B\sin(\theta) = \sqrt{A^2+B^2}\cos(\theta + \gamma) \label{1} \tag{1}$$

com $\gamma = \arg(A-jB)$

requer isso $A$ e $B$ ser reais ou podem ser complexos?

Considere o caso $B= jA$ o que resulta em:

$$A\cos(\theta) + jA\sin(\theta) = Ae^{j\theta}$$

Usando $\ref{1}$ isto resulta em:

$$=\sqrt{A^2-A^2}\cos(\theta + arg(2A)) = 0$$

O que parece confirmar que a resposta é não. Então, existe uma relação unificada para$A\cos(\theta) + B\sin(\theta)$ que é o mais próximo da forma de \ ref {1} e permite $A$ e $B$ ser real, imaginário ou complexo: $A, B \in \mathbb{C}$, $\theta \in \mathbb{R}$ (e \ ref {1} é apenas uma simplificação disso para A, B real)?

Cheguei até aqui em direção a uma solução geométrica com dois casos com A e B reais e com A real e B imaginário, como mostrado abaixo, caso isso ajude no resultado analítico, junto com o progresso subsequente mais significativo que forneci como resposta. No entanto, eu estaria muito interessado em uma formulação mais concisa para uma solução ou comentários sobre como a resposta que forneci pode ser ainda mais simplificada (para a forma em \ ref {1}).

$$A\cos(\theta) + B\sin(\theta)$$

$$= \frac{A}{2}e^{j\theta} + \frac{A}{2}e^{-j\theta} + \frac{B}{2j}e^{j\theta} - \frac{B}{2j}e^{-j\theta}$$ $$= \frac{A}{2}e^{j\theta} + \frac{A}{2}e^{-j\theta} - \frac{jB}{2}e^{j\theta} + \frac{jB}{2}e^{-j\theta}$$

Caso com A, B real para confirmar a relação conhecida resultando em $A\cos(\theta) + B\sin(\theta) = \sqrt{A^2+B^2}\cos(\theta + \gamma)$:

Caso com A real e B imaginário, resultando em $\frac{A+jB}{2}\cos(\theta) - jBe^{j\theta}$:

Answer 1

Deixei $A , B \in \mathbb{C}$, temos $$Z = A\cos(\theta) + B\sin(\theta) = (a+bj)\cos(\theta) + (c+dj)\sin(\theta) = (a\cos(\theta) + c\sin(\theta)) + j(b\cos(\theta) + d\sin(\theta)) = \sqrt{a^2 +c^2}\cos(\theta - x_1) + j\sqrt{b^2 +d^2}\cos(\theta - x_2)$$

Onde $\tan(x_1) = \frac{c}{a}$ e $\tan(x_2) = \frac{d}{b}$. Observe que aqui as partes reais e imaginárias são independentes uma da outra e é o suficiente para estudar$$f(a,b ,\theta) = \sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta - x) = \sqrt{a^2+b^2}\mathrm{Re} (e^{-jx}e^{j\theta}) ,\ \ \ \ \tan(x) = \frac{b}{a}$$ Portanto, podemos representar cada um dos $\mathrm{Re}(Z)$ e $\mathrm{Im}(Z)$ por um fasor.

Answer 2

A relação dada em \ ref {22} abaixo (destacado) é derivada da seguinte forma:

$$\vec{Z} = \vec{A} \cos(\theta) + \vec{B} \sin(\theta) \tag{1} \label{1a}$$

Com $ \vec{Z}, \vec{A}, \vec{B} \in \mathbb{C}$ Como:

$$\vec{A} = \alpha + j\delta \tag{2} \label{2}$$ $$\vec{B} = \beta + j\epsilon \tag{3} \label{3}$$

Com $\alpha, \beta, \delta, \epsilon, \theta \in \mathbb{R} $

Usando os relacionamentos $\cos(\theta) = (e^{j\theta}+e^{-j\theta})/2$ e $\sin(\theta) =(e^{j\theta}-e^{-j\theta})/(2j)$ em \ ref {1a} resulta em:

$$Z = (\alpha + j\delta)\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2} + (\beta + j\epsilon)\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j} $$

$$ = \frac{1}{2}e^{j\theta}((\alpha + \epsilon)+j(\delta-\beta)) + \frac{1}{2}e^{-j\theta}((\alpha - \epsilon)+j(\delta+\beta))$$

$$ = e^{j\theta}V_1e^{j\phi_1} + e^{-j\theta}V_2e^{j\phi_2} \tag{4} \label{4}$$

Com $V_1, V_2 \in \mathbb{R}$ Como

$$2V_1e^{j\phi_1} = ((\alpha + \epsilon)+j(\delta-\beta))\tag{5} \label{5}$$

$$2V_2e^{j\phi_2} = ((\alpha - \epsilon)+j(\delta+\beta))\tag{6} \label{6}$$

De \ ref {5}, \ ref {6}:

$$2V_1 = \sqrt{(\alpha+\epsilon)^2+(\delta-\beta)^2}\tag{7} \label{7}$$

$$\phi_1 = \text{atan2}(\delta-\beta, \alpha+ \epsilon)\tag{8} \label{8}$$

$$2V_2 = \sqrt{(\alpha-\epsilon)^2+(\delta+\beta)^2}\tag{9} \label{9}$$

$$\phi_2 = \text{atan2}(\delta+\beta, \alpha- \epsilon)\tag{10} \label{10}$$

Observe também o seguinte:

$$\vec{A}-j\vec{B} = \alpha + j\delta - j(\beta + j\epsilon) = (\alpha + \epsilon) + j(\delta - \beta) = 2V_1e^{j\phi_1} \tag{11} \label{11}$$

$$\vec{A}+j\vec{B} = \alpha + j\delta + j(\beta + j\epsilon) = (\alpha - \epsilon) + j(\delta + \beta) = 2V_2e^{j\phi_2} \tag{12} \label{12}$$

Como uma verificação das relações derivadas até agora, vemos o seguinte gráfico geométrico mostrando um exemplo $\vec{A}$, $\vec{B}$ no primeiro quadrante para $\theta = 0$ mostrando os vetores resultantes de \ ref {11} e \ ref {12}:

O que é consistente com a relação de \ ref {1a} e \ ref {4} para $\theta =0$:

$$\vec{Z} = \vec{A}\cos(\theta)+\vec{B}\sin(\theta) = \vec{A}\cos(0)+B\sin(0) = \vec{A}$$ $$\vec{Z} = e^{j\theta}V_1e^{j\phi_1} + e^{-j\theta}V_2e^{j\phi_2} = e^{j0}V_1e^{j\phi_1} + e^{-j0}V_2e^{j\phi_2}= V_1e^{j\phi_1} + V_2e^{j\phi_2} $$

Com $\theta =0$ a solução acima é trivial, resultando em $\vec{A}$ como esperado, mas podemos usar este gráfico para reconhecer o que ocorreria para aumentar $\theta$e como enquadrar o problema para descrever o resultado final como uma senoide mais uma exponencial. Isso é demonstrado começando com o gráfico imediatamente abaixo, que mostra os vetores reduzidos pela metade como na equação para$\vec{Z}$ e adiciona um valor positivo $\theta$, onde o resultado final $\vec{Z}$ seria a soma dos dois vetores azuis mostrados.

Podemos então decompor isso em vetores conjugados complexos (senoide) e componentes de fase complexos, visualizando o maior dos dois vetores como a soma de um vetor de magnitude idêntica ao vetor menor mais um resíduo e, em seguida, encontrando o ângulo de bissetriz entre estes dois vetores, uma vez que estariam em fase de conjugado complexo a partir desse ângulo:

Resultando na seguinte decomposição:

Como os gráficos acima ilustram,

$$\vec{Z} = e^{j\bar\phi}\big(2V_2\cos(\gamma)+(V_1-V_2)e^{-j\gamma}\big) \tag{13} \label{13}$$

Onde

$$\bar\phi = \frac{\phi_2+\phi_1}{2} \tag{14} \label{14}$$

$$\gamma = \phi_2+\theta - \bar\phi = \theta + \frac{\phi_2-\phi_1}{2} \tag{15} \label{15} $$

Usando \ ref {15} em \ ref {13}:

$$ \vec{Z} = e^{j\bar\phi}\bigg(2V_2\cos(\theta + \phi_\Delta/2)+ (V_1-V_2)e^{-j(\theta + \phi_\Delta/2)}\bigg) \tag{16} \label{16}$$

Onde

$$\phi_\Delta = \phi_2-\phi_1$$

com $\phi_1$ e $\phi_2$ como dado em \ ref {8} e \ ref {10}, e $V_1$ e $V_2$ como fornecido em \ ref {7} e \ ref {9}.

De \ ref {16}:

$$ \vec{Z} =2V_2 e^{j\bar\phi} \cos(\theta + \phi_\Delta/2) + (V_1-V_2)e^{-j(\theta + \phi_\Delta/2 - \bar\phi)}\tag{17} \label{17}$$

Observe que o argumento:

$$\theta + \phi_\Delta/2 - \bar\phi = \theta + \frac{(\phi_2-\phi_1)}{2} - \frac{(\phi_1+\phi_2)}{2} = \theta - \phi_1$$

O que é consistente com a figura, portanto, \ ref {17} simplifica ainda mais para:

$$\vec{Z} = 2V_2 e^{j\bar\phi}\cos(\theta + \phi_\Delta/2) + (V_1-V_2)e^{-j(\theta -\phi_1)}\tag{18} \label{18}$$

Isso é colocado nas unidades originais de $\vec{A}, \vec{B}$ do seguinte modo:

De \ ref {11} e \ ref {12} e representado no primeiro gráfico:

$$V_1 = \frac{\Vert\vec{A}-j\vec{B}\Vert}{2} \tag{19} \label{19}$$

$$V_2 = \frac{\Vert\vec{A}+j\vec{B}\Vert}{2}\tag{20} \label{20}$$

Do qual obtemos:

$$V_1-V_2 =\frac{\Vert\vec{A}-j\vec{B}\Vert-\Vert\vec{A}+j\vec{B}\Vert}{2}\tag{21} \label{21}$$

Substituindo \ ref {20} e \ ref {21} em \ ref {17} obtemos o resultado final:

$$ \bbox[yellow]{\vec{Z} =\vec{A}\cos(\theta)+\vec{B}\sin(\theta) = \\ \Vert\vec{A}+j\vec{B}\Vert e^{j\bar\phi}\cos(\theta + \phi_\Delta/2) + \frac{\Vert\vec{A}-j\vec{B}\Vert-\Vert\vec{A}+j\vec{B}\Vert}{2}e^{-j(\theta -\phi_1)}}\tag{22} \label{22}$$

O ângulo $\bar\phi$ é o ângulo de bifurcação de $V_1e^{j\phi_1}$ e $V_2e^{j\phi_2}$ que é determinado pela normalização de ambos:

$$\bar\phi = \frac{1}{2}\arg\bigg(\frac{\vec{A}-j\vec{B}}{\Vert\vec{A}-j\vec{B}\Vert}+\frac{\vec{A}+j\vec{B}}{\Vert\vec{A}+j\vec{B}\Vert}\bigg) \tag{23} \label{23}$$

Da mesma forma, podemos multiplicar a expressão interna por $\Vert\vec{A}+j\vec{B}\Vert \Vert\vec{A}-j\vec{B}\Vert$ que é apenas um dimensionamento, portanto, não altera o argumento, mas resulta neste relacionamento alternativo:

$$\bar\phi = \frac{1}{2}\arg\bigg(\frac{\vec{A}-j\vec{B}}{\Vert\vec{A}+j\vec{B}\Vert} + \frac{\vec{A}+j\vec{B}}{\Vert\vec{A}-j\vec{B}\Vert}\bigg) \tag{24} \label{24}$$

Talvez mais simples seja apenas a soma dos ângulos derivados de \ ref {11} e \ ref {12} para ser:

$$ \bar\phi = \frac{\arg(\vec{A}+j\vec{B})+\arg(\vec{A}-j\vec{B})}{2} \tag{25} \label{25}$$

resultando em:

$$\bbox[yellow]{\bar\phi = \frac{\text{atan2}(\delta+\beta, \alpha-\epsilon)+ \text{atan2}(\delta-\beta,\alpha+\epsilon)}{2}}\tag{26} \label{26}$$

E da mesma forma para $\phi_\Delta$:

$$\frac{\phi_\Delta}{2} = \frac{1}{2}\arg\bigg(\frac{\vec{A}+j\vec{B}}{\Vert\vec{A}-j\vec{B}\Vert}-\frac{\vec{A}-j\vec{B}}{\Vert\vec{A}+j\vec{B}\Vert}\bigg) \tag{27} \label{27}$$

ou equivalentemente de \ ref {11} e {12} como feito em \ ref {26}:

$$\frac{\phi_\Delta}{2} = \frac{\arg(\vec{A}+j\vec{B})-\arg(\vec{A}-j\vec{B})}{2} \tag{28} \label{28}$$

resultando em:

$$\bbox[yellow]{\frac{\phi_\Delta}{2} = \frac{\text{atan2}(\delta+\beta, \alpha-\epsilon)- \text{atan2}(\delta-\beta,\alpha+\epsilon)}{2}}\tag{29} \label{29}$$

E de \ ref {11}:

$$\bbox[yellow]{\phi_1 = \arg(\vec{A}-j\vec{B})=\text{atan2}(\delta-\beta,\alpha+\epsilon)}\tag{30} \label{30}$$

Assim, \ ref {22} com \ ref {26}, \ ref {29} e \ ref {30} temos uma relação semelhante a $A\cos(\theta) + B\sin(\theta)= \sqrt{A^2+B^2}cos(\theta + \gamma)$ expandido para complexo $A, B$. Ainda preciso confirmar se o resultado final está correto e pode ser ainda mais simplificado. (então ainda estou trabalhando nisso quando eu puder voltar a isso, e encorajar outros a postar outras derivações que possam chegar a esse resultado de forma mais concisa).

ATUALIZAÇÃO: A solução da SHW é a solução simples e elegante que eu estava procurando e que isto (se correto) seja equivalente (eu simplesmente não consegui ver a princípio como era simples). Observe se selecionamos um círculo ou raio$(V_1+V_2)/2$como referência na figura circulada em vermelho (terceiro gráfico), isso resultaria em uma onda senoidal real e imaginária girada correspondendo a esse resultado. Eventualmente, irei atualizar isso para mostrar os gráficos e a solução com uma referência usando os raios interno, externo e médio.

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Equações adicionais que podem ou não ajudar acima:

Não vejo como o seguinte ajuda ainda, mas incluir como caso de referência leva a uma maior simplificação:

Observe que os termos internos de \ ref {22} e \ ref {23} representam os lados de um paralelogramo que foram normalizados e, portanto, a magnitude deste somatório da relação generalizada $c^2 = a^2+b^2-2ab\cos(\text{angle})$ dos lados para a diagonal para um paralelogramo é igual a:

$$\bigg\Vert\frac{\vec{A}-j\vec{B}}{\Vert\vec{A}+j\vec{B}\Vert} + \frac{\vec{A}+j\vec{B}}{\Vert\vec{A}-j\vec{B}\Vert}\bigg\Vert = \sqrt{ 2-2\cos(\bar\phi)} \tag{31} \label{31}$$