A diferença formal entre $\cup$ e $\vee$

Question

Eu tenho um problema em entender a diferença entre o significado do conjunto de união ($\cup$) e o operador de disjunção lógica ($ \ vee).

Ou seja, o que eu não tenho certeza são as diferenças entre as regras de cálculo para esses diferentes operadores e se elas podem ou não ser trocadas em algumas situações ???

Se for dada uma regra, como:

M∩ (N∪L) = (M∩N) ∪ (M∩L) É equivalente a isso? M∧ (NvL) = (M∧N) v (M∧L)

Estou perguntando isso porque, por exemplo, na Wikipedia as leis de De Morgan, são escritas como se esses símbolos pudessem ser trocados:

• Vejo: https://en.wikipedia.org/wiki/De_Morgan's_laws

Toda ajuda é apreciada. Obrigado

Answer 1

A diferença é que $\cap$ e $\cup$ e $\overline{\phantom{M}}$ operar em conjuntos, enquanto $\land$, $\lor$ e $\neg$ operar em fórmulas.

$\{a, b\} \cap (\{b\} \cup \{b, c\}) = (\{a, b\} \cap \{b\}) \cup (\{a, b\} \cap \{b, c\}$ faz sentido.
$(p \to q) \land (\neg q \lor r) = ((p \to q) \land \neg q) \lor ((p \to q) \land r)$ faz sentido.
$\{a, b\} \land (\{b\} \lor \{b, c\}) = (\{a, b\} \land \{b\}) \lor (\{a, b\} \land \{b, c\}$ não faz sentido.
$(p \to q) \cap (\neg q \cup r) = ((p \to q) \cap \neg q) \cup ((p \to q) \cap r)$ não faz sentido.

Dito isso, a semelhança entre os dois - a semelhança visual nos símbolos, e o fato de que os mesmos padrões de regras se aplicam a eles - não é coincidência: vem do fato de que ambos são definidos pelo mesmo meta- operadores teóricos:

$M \cap N = \{x: x \in M \text{ and } x \in N\}$
$M \cup N = \{x: x \in M \text{ or } x \in N\}$
$\overline{M} = \{x: \text{not } x \in M \}$

$\mathfrak{A} \models P \land Q \Longleftrightarrow \mathfrak{A} \models P \text{ and } \mathfrak{A} \models Q$
$\mathfrak{A} \models P \lor Q \Longleftrightarrow \mathfrak{A} \models P \text{ or } \mathfrak{A} \models Q$
$\mathfrak{A} \models \neg P \Longleftrightarrow \text{not } \mathfrak{A} \models P$

Ambas as definições imitam da mesma forma o comportamento da linguagem natural "e", "ou" e "não" da qual são derivadas, mas operam em diferentes tipos de objetos matemáticos - um em conjuntos, outro em fórmulas - e, portanto, não são intercambiáveis.