$A$ é nilpotente, então $I+\lambda A$ é invertível para qualquer $\lambda \in \mathbb{R}$

Question

Preciso de ajuda neste problema
vamos$A$ é uma matriz quadrada real tal que $A^{n}=0$ para algum número inteiro positivo $n .$Essa matriz é chamada de nilpotente. Mostre que se$A$ é nilpotente, então $I+\lambda A$ é invertível para qualquer $\lambda \in \mathbb{R}$

Eu sei disso para $\lambda = 1$ é verdade por
$$\left(A+I\right)\left(I-A+A^2-...+(-1)^n A^{n-1}\right) = I +(-1)^{n-1} A^n = I$$ Provando assim que $A+I$ é invertível para qualquer nilpotente $A$.

Mas eu não sei se isso é verdade para algum $\lambda$.

Answer 1

Nós temos $(I+\lambda A)(I-\lambda A+\lambda^2A^2-...)=I$.

Answer 2

Dica: como você já sabe se $A$ é nilpotente, então $I+A$ é uma unidade, você pode observar que $\lambda A$ é nilpotente e conclui.

Answer 3

Você também pode mostrá-lo por contradição da seguinte forma:

Para $\lambda = 0$ não há nada para mostrar.

Então vamos $\lambda \neq 0$ e assumir que $I+\lambda A$ não é invertível. $$\Rightarrow \det (I+\lambda A)=0 \Rightarrow \det \left(A - \mu I\right)=0 \text{ with } \mu = -\frac 1{\lambda} \neq 0$$

Então, $\mu\neq 0$ seria um valor próprio de $A$. Desde a$A$ é nilpotente, teríamos $\mu = 0$, o que é uma contradição.

Answer 4

Estou assumindo $A$ está acabado $\mathbb{R}$ , com índice nilpotente $k$

em caso $\lambda = 0$ : $(I - \lambda A) = I$e é invertível.
em caso$\lambda \not= 0$: vamos usar este próximo lema

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lema: se$B$ é uma matriz nilpotente real, $B$não tem autovalores reais diferentes de zero.
prova:

vamos assumir $B$ é nilpotente de índice $r$.
também assumimos que tem um autovalor real -$\xi$

por definição, significa que existe um vetor diferente de zero $v$ de tal modo que-

$Bv = \xi v$

então, $B^2v = B(B(v)) = B(\xi v) = \xi B(v) = \xi^2 v$
em geral, não é difícil mostrar por indução que
$\forall n \in \mathbb{N} : B^n (v) = \xi ^n v$

com isso, obtemos: $B ^r (v) = \xi ^r v$
mas também $B ^r (v) = O (v) = \underline0$

então - $\xi ^r v = \underline0$.
mas$v \not= \underline0$ , então devemos obter $\xi ^r = 0$ - o que em geral significa que:
$\xi = 0$
$Q.E.D$

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Agora, aplique este lema em$A$, e pegue isso $A$não tem autovalores diferentes de zero .

vamos examinar a matriz $I - \lambda A$ , lembrando disso aqui $\lambda \not= 0$.

Esta matriz é invertível, se e somente se tiver um determinante diferente de zero.
Vamos calcular seu determinante:

$det(I - \lambda A) = \lambda det(\lambda ^{-1}I - A)$

assuma que isso é igual $0$ e pegue:
$\lambda det(\lambda ^{-1}I - A) = 0$
$det(\lambda ^{-1}I - A) = 0$

e entao - $\lambda ^{-1}$ é um valor próprio de $A$, que é diferente de zero. Contredição.

Portanto, $\lambda det(\lambda ^{-1}I - A) \not= 0$ e entao -
$det(I - \lambda A) \not = 0$ e a matriz é invertível.