A medida de Haar é invariante sob conjugação?

Question

Denote a medida de Haar no grupo unitário$U(\mathcal X)$de$\eta$. Essa equação é válida (assumindo que a integral existe):

$\int d\eta(U) f(U) = \int d\eta(U) f(U^\dagger)$?

Intuitivamente, isso faz sentido porque escolher um$U$parece ser o mesmo que escolher um$U^\dagger$, mas não tenho certeza de como provar isso.

Answer 1

Vou responder a essa pergunta em um contexto mais geral. Você deve saber que o teorema de Haar lhe diz que em qualquer grupo localmente compacto$G$, existe uma medida única invariante à esquerda (Borel)$\mu$, até uma constante positiva. Invariância à esquerda significa que$\mu(g A)=\mu(A)$para qualquer$g\in G$e (mensurável) definido$A\subset G$. Esta é a medida de Haar (esquerda) em$G$.

O mesmo argumento produz uma medida única invariável à direita, até uma constante. Observe que sempre podemos transformar uma medida de Haar invariante à esquerda em uma medida de Haar invariante à direita tomando o inverso:$\tilde\mu(A) := \mu(A^{-1})$. É exatamente nisso que você está interessado.

Para certos grupos, as medidas de Haar invariantes à esquerda e à direita coincidem (grupos unimodulares) e o grupo unitário$U(d)$é um grupo assim. Para esses grupos, sua afirmação está correta. A prova é direta:

A unimodularidade implica que o "inverso" da medida de Haar normalizada$\mu$em$U(d)$é em si uma medida de Haar invariante à esquerda e à direita em$U(d)$. Por singularidade,$\tilde\mu$só pode diferir por uma constante positiva de$\mu$. No entanto, é claro que ambas as medidas estão normalizadas,$\tilde\mu = \mu$.