Ajuda com geometria de triângulos em esferas.
Estou tentando entender a geometria dos triângulos inscritos em esferas (não triângulos esféricos - o triângulo em si é um plano). Tenho trabalhado com triângulos em círculos e agora preciso extrapolar isso para 3D. Gostaria de aprender isso com os princípios básicos e, por isso, gostaria de dar uma dica em uma cartilha ou algo semelhante, mas também incluirei meu problema exato abaixo.
Eu tenho um triangulo $\triangle ABC$, inscrito em uma esfera unitária, centro $O$. $O$ não está no avião $ABC$. Tomando o círculo ao redor de cada lado e com seu centro em$O$, divida cada lado do triângulo e empurre essa ponta para um ponto na superfície desse círculo. Isso nos dá seis acordes da esfera,$AX$, $XB$, $BY$, $YC$, $CZ$, $ZA$. Eu fiz toda a matemática até este ponto, usando os círculos$AB$, $BC$, e $CA$ por aí $O$, para obter os comprimentos dos seis novos acordes e os ângulos em $O$para cada um. Mas agora eu quero descobrir três NOVOS círculos,$XY$, $YZ$ e $ZX$, em torno do mesmo ponto central $O$, para que eu possa calcular esses comprimentos e ângulos. Eles ainda seriam círculos unitários, pois os pontos estão na superfície da esfera unitária com a qual comecei. O ângulo$\angle XOY$ seria o ângulo entre os planos $ABO$ e $BCO$, se não estou enganado, mas não tenho certeza de como obter esse ângulo e não tenho certeza absoluta de que essa suposição esteja correta em primeiro lugar. (esses planos se cruzam na linha$BO$, então esse ângulo é o mesmo que $\angle ABC$? Isso parece muito simples, mas se eu estiver certo, isso torna meu dia muito mais fácil!)
Esta é apenas a primeira etapa do meu projeto, então eu realmente quero aprender essas coisas, não apenas obter respostas.
Qualquer ajuda para fazer meu cérebro saltar do 2D para o 3D é apreciada, seja para obter diretamente a resposta aqui, ou indicações para uma boa fonte para começar a aprender (neste caso, voltarei e responderei eu mesmo).
Respostas
Obrigado a @brainjam, que me ajudou a passar por todas as etapas para chegar à minha resposta. Aqui está, passo a passo.
Dadas as distâncias $AB,BC,CA$ Eu preciso das coordenadas dos pontos $A,B,C$no espaço 3D para fazer este trabalho. Como o triângulo é arbitrário em seu alinhamento na esfera, posso girar a esfera à vontade. Então coloquei ponto$B$ em $(1,0,0)$, e $A$ no $xz$ avião.
O ângulo $\angle BOA$ = $\cos^{-1}\left(\dfrac{2-AB^2}{2}\right)$.
Então aponte $A = (\cos(\angle BOA),0,\sin(\angle BOA))$.
Ponto $C=(x,y,z)$ pode ser resolvido usando as distâncias dos pontos $A,B$ e $OC=1$.
$OC = 1 = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ que dá $1 = x^2+y^2+z^2$.
Para x: $$ \begin{align} BC &= \sqrt{(x-1)^2+y^2+z^2} \\ BC^2 &= (x-1)^2+y^2+z^2 \\ BC^2 &= x^2 - 2x + 1 + y^2 + z^2 \\ BC^2 &= -2x + 2 \\ -2x &= BC^2-2 \\ x &=1-BC^2/2 \\ \end{align} $$
Para y: $$ \begin{align} AC &= \sqrt{(x-A_x)^2+y^2+(z-A_z)^2}\\ AC^2 &= (x-A_x)^2+y^2+(z-A_z)^2\\ y^2 &= AC^2-(x-A_x)^2-(z-A_z)^2\\ y &=\sqrt{AC^2-(x-A_x)^2-(z-A_z)^2}\\ \end{align} $$
Para z, substituindo $y^2$ para dentro $BC^2 = (x-1)^2+y^2+z^2$ dá $$ \begin{align} BC^2 &= (x-1)^2+z^2 + AC^2-(x-A_x)^2-(z-A_z)^2 \\ (z-A_z)^2-z^2 &= AC^2-BC^2+(x-1)^2-(x-A_x)^2 \\ A_z^2-2zA_z &= AC^2-BC^2+(x-1)^2-(x-A_x)^2 \\ -2zA_z &= AC^2-BC^2+(x-1)^2-(x-A_x)^2-A_z^2 \\ z &= \frac{AC^2-BC^2+(x-1)^2-(x-A_x)^2-A_z^2}{-2A_z} \\ \end{align} $$
Esses três fornecem $C=(x,y,z)$ em termos dos comprimentos iniciais dos lados.
Agora que tenho as coordenadas dos três pontos, posso calcular os pontos médios $M_{AB},M_{BC},M_{CA}$em cada lado.
Calculando o ângulo entre cada par de pontos médios usando o produto escalar: $$\angle{M_{AB}OM_{BC}} = \cos^{-1}(M_{AB}\cdot M_{BC}/|M_{AB}||M_{BC}|)$$
e então o comprimento da corda entre os pontos projetados ao longo das linhas $OM_{AB}$ e $OM_{BC}$ para a superfície da esfera, é dado por $$\frac{\sin(M_{AB}OM_{BC})}{\sin(0.5(180-M_{AB}OM_{BC}))}.$$