Algoritmo para resolver problemas eletromagnéticos usando apenas forças

Question

Existe algum problema fundamental para resolver problemas eletromagnéticos com o seguinte algoritmo? (praticidade à parte)

i) Definir posição, velocidade, massa e carga para um conjunto de partículas.

ii) Calcule o campo elétrico na posição de cada partícula produzida por todas as outras partículas com a lei de Coulomb.

iii) Calcular o campo magnético na posição de cada partícula produzida por todas as outras partículas com a lei de Biot-Savart.

iv) Mova todas as partículas em um valor diferencial usando a segunda lei de Newton com a força de Lorentz:

para cada partícula que eu computo:$m \vec a = q(\vec E + \vec v \times \vec B)$

v) Vá para a etapa ii.

Answer 1

Sim. Pelo menos dois que posso ver de antemão:

1. A lei de Coulomb é válida apenas na eletrostática , o que significa que não é válida para cargas em movimento, mesmo aquelas que se movem com uma velocidade uniforme uma em relação à outra. Isso ocorre porque o campo elétrico para uma carga em movimento não é mais o "normal"$1/r^2$campo elétrico, como você pode ver no Capítulo 26 das Feynman Lectures (ver Fig. 26-4).

2. Da mesma forma, a lei de Biot-Savart vale apenas para magnetostática , onde você lida com correntes constantes . Uma única carga de ponto móvel certamente não é uma corrente constante!

Além disso, como esses campos não são constantes, você também deve se lembrar que as mudanças no campo eletromagnético viajam na velocidade da luz.$c$. Em outras palavras, as cargas não sentirão uma força instantânea como você descreve, mas uma força retardada , retardada por um tempo$t - r/c$Onde$r$é a distância entre as cargas.

Agora, você poderia fazer um pouco melhor usando os campos elétricos e magnéticos exatos das cargas em movimento (estes são derivados no capítulo das Palestras de Feynman que linkei acima), levando em consideração o retardo e, em seguida , use a fórmula:

$$\mathbf{F} = q (\mathbf{E + v \times B}),$$

mas também vejo um quarto problema: cargas aceleradas irradiam energia na forma de ondas eletromagnéticas. Essa emissão causa uma força de recuo na partícula carregada chamada força de Abraham-Lorentz (ou reação de radiação) . Você precisa levar isso em conta também para uma descrição completa. No entanto, isso também é válido apenas em velocidades pequenas em comparação com a velocidade da luz$c$. Acredito que sua versão relativística é a força de Abraham-Lorentz-Dirac.

Mas isso soa como um problema muito complicado sem fazer algumas suposições primeiro (tomando o limite não relativístico, etc.).

Answer 2

Acho que a primeira página das palestras Fenyman Vol 2 menciona isso quando tenta motivar por que usamos campos e não apenas forças.

https://www.feynmanlectures.caltech.edu/

É um pouco escasso, mas:https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_01.html

Acontece que as formas nas quais as leis da eletrodinâmica são mais simples não são o que você poderia esperar. Não é muito simples fornecer uma fórmula para a força que uma carga produz sobre outra. É verdade que quando as cargas estão paradas a lei da força de Coulomb é simples, mas quando as cargas estão se movendo as relações são complicadas por atrasos no tempo e pelos efeitos da aceleração, entre outros. Com isso, não queremos apresentar a eletrodinâmica apenas através das leis de força entre cargas; achamos mais conveniente considerar outro ponto de vista - um ponto de vista no qual as leis da eletrodinâmica parecem ser as mais facilmente administráveis.

Portanto, acho que a resposta à sua pergunta é que seu método não leva em consideração a velocidade finita na qual as perturbações nos campos magnéticos e elétricos se propagam entre as cargas.