Algum semigrupo finito desse tipo é um monóide esquerdo?

Dec 23 2020

Deixar $(S, \cdot, e)$ seja um semigrupo $(S, \cdot)$ com operação binária $e$ em que as identidades $e(x, y)\cdot x\approx x$ e $e(x, y)\approx e(y, x)$ aguarde.

Em esta pergunta eu perguntei se qualquer semigrupo é necessariamente uma monoid esquerda. Exemplo dado a mim por J.-E. Pin mostra que isso não é verdade. Claramente,$(\mathbb{Z}, \min, \max)$ não é um monóide esquerdo, mas satisfaz essas identidades.

Um monóide esquerdo é um semigrupo com identidade esquerda.

Como não consegui encontrar um semigrupo finito como este, que não fosse um monóide esquerdo, tentei verificar em semigrupos de ordem GAP $\leq 4$, Eu suspeito que todos os semigrupos finitos desta forma são deixados monoides por algumas razões combinatórias.

Infelizmente, não tenho certeza de como obter todos os semigrupos de pedidos, digamos, $\leq 7$, que não seriam deixados monóides e seriam semigrupos lwr, a não ser pegar todos os semigrupos que não são monogênicos ou monóides usando o pacote Smallsemi do GAP e verificar se eles são desta forma manualmente criando uma tabela de multiplicação. Como você pode imaginar, isso é muito tedioso.

Existe um semigrupo finito desta forma, não sendo um monóide esquerdo, e se sim, você pode fornecer um exemplo de menor ordem?

Respostas

2 J.-E.Pin Dec 28 2020 at 22:24

Qualquer semigrupo finito não vazio $S$deste tipo tem uma identidade esquerda. Primeiro observe que para todos$x, y \in S$, $$ (1) \quad e(x,y)x = x \text{ and } e(x,y)y = e(y,x)y = y. $$ Desde a $S$ é finito, ele contém um idempotente $x_0$. Deixar$S = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\}$ e deixar $(a_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ seja a sequência de elementos de $S$ definido por $a_0 = x_0$ e para $1 \leqslant i \leqslant n$, $a_i = e(a_{i-1},x_i)$.

Reivindicar :$a_n$ é uma identidade esquerda de $S$.

Primeiro observe que, para $1 \leqslant i \leqslant n$, \begin{align} &(2) \quad& a_ia_{i-1} &= e(a_{i-1},x_i)a_{i-1} = a_{i-1} \\ &(3) \quad& a_ix_i &= e(a_{i-1},x_i)x_i = x_i \end{align} Vamos agora provar por indução em $k = i+j$ que, para $0 \leqslant i \leqslant j$, $$ (4) \quad a_jx_i = x_i. $$ Se $k = 0$, então $i = j = 0$ e $a_0x_0 = x_0$ Desde a $x_0$é idempotente. Suponha que (4) valha para$i + j \leqslant k$ e suponha que $i + j = k+1$. Se$i = j$, então (4) segue de (3). Se agora$i \leqslant j-1$, então $a_{j-1}x_i = x_i$pela hipótese de indução. Segue por (2) que$$ a_jx_i = a_j(a_{j-1}x_i) = (a_ja_{j-1})x_i = a_{j-1}x_i = x_i. $$ Isso prova a afirmação e conclui a prova.