anel semi-simples implica módulo semi-simples

Question

Estou tentando resolver a parte b do problema abaixo.

Já fiz a parte a usando a proposição e só quero verificar se minha tentativa de b está correta.

Deixei $M$ feijão $A$-módulo e conforme sugerido pelo problema, eu deixo $\mathcal{C}$ ser a coleção de todos os submódulos de $M$isto é semisimples, parcial ordenado por inclusão. Sabemos que esta coleção não é vazia, pois podemos escolher qualquer submódulo gerado finitamente de$M$e usando a parte a. Qualquer cadeia nesta coleção também tem um limite superior ao obter a união da cadeia. Portanto, pelo lema de Zorn, temos um submódulo$N$ máximo à condição de ser semisimples, então $N = \oplus_{i \in I} S_i $ Onde $S_i$ é um submódulo simples.

E se $N = M$, então terminamos. E se$N \neq M$, então podemos escolher $m \in M \backslash N$. Desde a$ Am $ é finitamente gerado, pela parte a, temos que $Am = \oplus_{j \in J} U_j$ Onde $U_j$são simples. Desde ambos$U_j$ e $S_i$ são simples também $U_j \cap S_i = 0$ ou o $U_j$pode ser idêntico a alguns dos $S_i$, então livre-se dos repetidos para obter $J^* \subseteq J$.

Finalmente, $N \subsetneqq N + Am \subseteq N + (\oplus_{j \in J} U_j) = N \oplus (\oplus_{j \in J^*} U_j)$ que este último é semi-simples, contradiz a maximalidade de $N$.

Meu argumento acima está correto? Obrigado a todos.

Editar: Correção do comentário de Rschwieb

Conforme apontado por Rschwieb, a soma pode não se cruzar trivialmente como eu descuidadamente pensei. Então, começando de novo$Am = \oplus_{j \in J} U_j$ Onde $U_j$são simples. Desde a$m \notin N$ e todo o $U_j$são simples, existe um $U_{\alpha}$ de tal modo que $U_{\alpha} \cap N = 0$.
Então$N \subsetneqq N + U_{\alpha} = N \oplus U_{\alpha}$ e o último é semi-simples, o que contradiz a maximalidade de $N$.

Answer 1

A maioria está certa, mas a última linha não se sustenta: mesmo que o $U_j$ cruzar $N$somas trivialmente, não há razão para dizer que sua soma se cruza $N$trivialmente. E do penúltimo parágrafo é um pouco mole sobre como manipular summands.

Por exemplo, $\{(x,x)\mid x\in F\}$ cruza trivialmente $\{(0,x)\mid x\in F\}$ e $\{(x,0)\mid x\in F\}$, mas a soma dos dois últimos não intercepta o primeiro trivialmente.

De qualquer forma, esse raciocínio extra nem é necessário se você conhece o exercício básico de que os seguintes são equivalentes:

1. $M$ é uma soma direta de módulos simples
2. $M$ é uma soma de módulos simples

Por causa disso, você pode simplesmente concluir "então $N+Am$é uma soma de módulos simples, portanto, semisimples. Mas isso contradiz a maximalidade de$N$. Portanto$M=N$ em primeiro lugar."

Alternativamente, você pode apenas usar um único um dos$Am$submódulos de para desenhar uma contradição, pois é verdade que deve estar contida em $N$ ou se cruzam $N$trivialmente. (Obviamente, nem todos$Am$os fatores de podem estar contidos em $N$.

Mas sua abordagem está correta em grande parte.