Aplicação da Fórmula Ito D dimensional em SDE

Question

Estou lendo uma prova sobre a existência da singularidade de uma SDE. Surge o seguinte problema. Deixei$X_t$ e $Y_t$ ser duas soluções da SDE $dX_t=b(t,X_t)dt+\sigma(t,X_t)dW_t, X_0=\Xi$, onde W é um movimento browniano r-dimensional.

Agora por Ito, $$\Vert X_t-Y_t\Vert^2=2\int_0^t \langle b(s,X_s)-b(s,Y_s),X_s-Y_s\rangle ds +2\sum_{i=1}^d\sum_{j=1}^r\int_0^t (X_s^i-Y_s^i)(\sigma_{i,j}(s,X_s)-\sigma_{i,j}(s,Y_s))dW_s^j+\int_0^t \Vert\sigma(s,X_s)-\sigma(s,Y_s) \Vert^2 ds$$

Como isso acontece? Tentei aplicar a fórmula Ito a$f(X_t-Y_t)$ com $f(x):=\Vert x\Vert^2$, mas isso não funciona. Alguém poderia me ajudar aqui e mostrar como aplicar Ito corretamente aqui.

Answer 1

Deixei $f:\mathbb R^d \to \mathbb R, (t, x) \mapsto \|x\|^2$. Então$f$é suave e independente do tempo. Os derivados de$f$ são como segue:

$$\frac{\partial}{\partial x_i} f(x) = 2x_i, \quad \frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j} f(x) = 2\delta_{ij}$$

Pela fórmula de Itô: \begin{align} \mathrm d f(X_t-Y_t) &= \sum_{i=1}^d \frac{\partial f}{\partial x_i} (X_t-Y_t) \mathrm d(X^i_t-Y^i_t)\\ &+ \frac 12 \sum_{i,k=1}^d \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_k} (X_t-Y_t) \sum_{j=1}^r (\sigma_{ij}(t,X_t)-\sigma_{ij}(t,Y_t))(\sigma_{kj}(t,X_t)-\sigma_{kj}(t,Y_t)) \mathrm dt\\ &= \sum_{i=1}^d 2(X^i_t-Y^i_t) (b^i(t,X_t)-b^i(t,Y_t)) \mathrm dt\\ &+ \sum_{i=1}^d 2(X^i_t-Y^i_t) \sum_{j=1}^r (\sigma_{ij}(t,X_t)-\sigma_{ij}(t,Y_t)) \mathrm dW^j_t\\ &+ \frac 12 \sum_{i=1}^d 2\sum_{j=1}^r (\sigma_{ij}(t,X_t)-\sigma_{ij}(t,Y_t))^2 \mathrm dt\\ &= 2\langle X_t-Y_t, b(t,X_t)-b(t,Y_t)\rangle \mathrm dt\\ &+ 2\sum_{i=1}^d \sum_{j=1}^r (X^i_t-Y^i_t)(\sigma_{ij}(t,X_t)-\sigma_{ij}(t,Y_t)) \mathrm dW^j_t\\ &+ \|\sigma(t,X_t)-\sigma(t,Y_t))\|^2 \mathrm dt \end{align} Aqui, $\|\cdot\|$denota a norma Frobenius. Além disso:$$f(X_0-Y_0) = f(\Xi-\Xi) = f(0) = 0$$ Integrando $\mathrm df(X_t-Y_t)$ de $0$ para $t$ agora produz a seguinte identidade: \begin{align} \|X_t-Y_t\|^2 &= 2\int_0^t \langle X_t-Y_s, b(s,X_s)-b(s,Y_s)\rangle \mathrm ds\\ &+ 2\sum_{i=1}^d \sum_{j=1}^r \int_0^t (X^i_s-Y^i_s)(\sigma_{ij}(s,X_s)-\sigma_{ij}(s,Y_s)) \mathrm dW^j_s\\ &+ \int_0^t \|\sigma(s,X_s)-\sigma(s,Y_s))\|^2 \mathrm ds \end{align}