Aplicações teóricas dos números clássicos do $p$- números radicais
Tenho certeza que todos podemos concordar que o $p$Os números vádicos são objetos altamente fascinantes por si só - assim como a teoria das avaliações intimamente relacionada.
Tendo lido independentemente sobre o $p$-números rádicos por algumas semanas, até agora vi apenas uma aplicação deles ao que eu chamaria de teoria clássica dos números - ou seja, a prova dada no Cours d'arithmétique de Serre de que um número natural pode ser expresso como a soma de$\leq 3$ quadrados se e somente se não for da forma $4^a(8b-1)$ para alguns $a,b \in \mathbb{N}$.
Como tenho tendência a apreciar o valor das teorias mais elevadas da matemática em proporção a suas aplicações à teoria dos números elementares, imediatamente me perguntei se há alguma outra aplicação.
Portanto, minha pergunta para a comunidade é: Quais são as aplicações mais interessantes do $p$-números básicos e a teoria das avaliações para a teoria dos números elementares?
Muito Obrigado.
Ps: Estou ciente de que já existem vários posts no fórum sobre as aplicações do $p$Números -adic, mas nenhum que se refere especificamente à teoria dos números elementares.
Edit: Concordo que fui muito vago no que quero dizer com "teoria dos números elementares", então tentarei ser um pouco mais específico: por uma proposição teórica dos números "elementar" clássica, quero dizer uma proposição teórica dos números que Fermat pode ter surgido. Assim, a proposição acima sobre a soma de três quadrados é uma proposição teórica de número elementar, como é, por exemplo, o último teorema de Fermat e a conjectura do primeiro gêmeo, enquanto, por exemplo, a conjectura BSD ou o problema do número de classe não são.
Edição 2: Obrigado por todas as respostas abaixo - todas são excelentes! No caso de alguém sugerir outro, gostaria de dizer que pontos-bônus são dados para resultados que até agora só foram provados usando a teoria de$p$- números radicais, ou cuja prova usando $p$-números radicais é muito mais conceitual e perspicaz do que o original / mais elementar.
Respostas
Um dos meus resultados clássicos favoritos usando $p$-métodos básicos na teoria dos números elementares é o teorema de Skolem-Mahler-Lech:
Este é um teorema sobre sequências de recorrência linear, que são sequências de inteiros onde cada termo é uma combinação linear fixa de $n$anteriores. Então consertando$n$ a sequência $s_i$ é definido escolhendo o primeiro $n$ termos $$s_0,\ldots, s_{n-1}\in \mathbf Z$$ e uma relação para todos $k$ $$s_{k + n} = \sum_{i=0}^{n-1} a_i s_{k+i}$$ para consertar $a_i$.
Alguns exemplos são a sequência de Fibonacci ($n = 2$,$s_0 = 0, s_1 = 1$, $a_0=a_1= 1$), e coisas mais simples, como qualquer sequência eventualmente periódica, ou a sequência $s_k = k$ (Aqui $n=2$, $s_0 = 0, s_1=1$, $a_0 = -1, a_1= 2$) Podemos fazer outras sequências semelhantes facilmente observando que a soma de quaisquer duas sequências de recorrência linear também é uma sequência de recorrência linear.
Um fato importante sobre essas sequências é que suas funções geradoras $$f_s = \sum_{k= 0}^\infty s_k x^k$$ são sempre funções racionais da variável $x$ (um polinômio dividido por outro), onde o numerador define os termos iniciais $s_0, \ldots, s_{n-1}$ e o denominador define a relação de recorrência.
Dos exemplos que mencionei acima, a sequência de fibonacci cresce (exponencialmente), eventualmente sequências periódicas são limitadas e a sequência $s_k=k$ também cresce, apenas menos rapidamente do que o fibonacci.
Uma pergunta que se pode fazer é:
Qual é o conjunto de $k$ para qual $s_k = 0$?
a partir desses exemplos (e outros), podemos conjeturar que este conjunto é periódico, exceto para exceções finitas (afinal, podemos sempre alterar muitos termos finitos de qualquer sequência de recorrência linear para fazer uma sequência com o mesmo comportamento eventualmente, mas com zeros onde quer que quer no início).
Como alguém poderia provar isso? O primeiro passo da prova é usar a função de geração racional$f_s$ e escrever sua decomposição de fração parcial sobre um campo algebraicamente fechado (como $\overline {\mathbf Q}$), será no formato
$$f_s = \sum_{i=1}^{\ell} \sum_{j = 1}^{r_i} \frac{\alpha_{ij}}{(x - \beta_{i})^j} $$
para algumas raízes fixas $\beta_j$ do denominador original de $f_s$.
Agora, usando esta decomposição, temos $$f_s = \sum_{i=1}^{\ell} \sum_{j = 1}^{r_i} \alpha_{ij}{\left(\sum_{n=0}^\infty \beta_i^n x^n\right)^j} $$
o que isso dá é aquilo $$s_n = \text{some polynomial expression involving terms }\beta^n $$
Por exemplo, para a sequência de fibonacci, isso recupera a fórmula de Binet $$s_n = \frac{1}{\sqrt 5} \left(\frac{1+ \sqrt 5}2\right)^n-\frac{1}{\sqrt 5} \left(\frac{1- \sqrt 5}2\right)^n.$$ Ou para a sequência periódica $0,1,0,1,0,1,\ldots$ isto é $$ s_n = 1^ n - (-1)^n$$
Então nós escrevemos $s_n$ como uma soma de funções do tipo exponencial em $n$ com bases diferentes, que queremos descrever os zeros desta função para $n \in \mathbf N$.
Agora a parte mágica: a função $e^x$é uma função analítica e, em um domínio limitado, as funções analíticas têm apenas um número finito de zeros (a menos que sejam zero em todos os lugares). Isso nos daria muito controle sobre os zeros de$s_n$se os naturais fossem limitados. O que leva a uma pergunta um pouco estranha:
E se os números naturais fossem limitados? E as funções$\beta^n$ ainda eram analíticos de alguma forma?
Claro, usando o valor absoluto usual e métrica em $\mathbf Q$ e $\mathbf C$ isso é totalmente falso.
Mas no $p$-números radicais isso é verdade! Os inteiros são todos limitados ($p$-adicamente) por norma $\le 1$. Então, vamos tratar essas funções como$p$funções -adic e controlar os conjuntos de zero de alguma forma.
Como isso prova o resultado? As funções$\beta^n$ não são $p$funções analíticas -adic de $n$ por conta própria, mas são pequenos o suficiente $p$- discos rígidos, porém, o que acaba acontecendo é que conseguimos distinção entre as classes de congruência de $n$ mod $p-1$ para alguns bem escolhidos $p$ de modo que em cada classe de congruência existem apenas finitos zeros de $s_n$ ou a função $s_n$é identicamente zero nessa classe de congruência. Isso nos dá o teorema mencionado acima, que os zeros de$s_n$ são periódicos, exceto para um número finito de exceções.
Não tenho certeza se o resultado de Gauss (Legendre) se qualifica como "a aplicação mais deliciosa do $p$números -adic ", mas dá que $$ n=a^2+b^2+c^2 $$ é a soma de três quadrados se e somente se $$ -n \text{ is a square in } \Bbb Q_2. $$ Claro, isso diz que $n$ não é da forma $4^l(8k+7)$.
Edit: Percebi que você já conhece este aplicativo. Portanto, procurei outras aplicações. Este post MO refere - se especificamente aos resultados elementares. Alguns deles estão na teoria dos números elementares.
Você escreve que não há "nenhuma postagem" neste fórum que se refira ao uso do $p$-adics em um cenário de teoria dos números elementares. Uma afirmação universal pode ser refutada com um único contra-exemplo, então veja as respostas aqui para algumas aplicações elementares de$p$-adics, incluindo um que mencionei lá sobre a determinação dos primos nos denominadores dos coeficientes binomiais $\binom{r}{n}$ para $r \in \mathbf Q$ usando $p$- continuidade de funções polinomiais em $\mathbf Q$. Isso também apareceu em outra postagem math.stackexchange aqui e é descrito em termos gerais aqui .
Uma aplicação para recursões lineares assumindo valores específicos (muito semelhante ao que Alex dá em sua resposta) está aqui e uma interpretação do resultado em termos de resolução da equação diofantina exponencial$3^m = 1 + 2x^2$está no apêndice aqui . Outra aplicação na mesma linha, para soluções integrais da equação diofantina.$x^3 - 2y^3 = 1$, está aqui .
Um uso de $p$-adics para explicar a estrutura de $(\mathbf Z/p^k\mathbf Z)^\times$ para primos ímpares $p$ (que é cíclico para todos $k \geq 1$) está aqui . O ponto chave é reescrever o grupo como um quociente de grupos multiplicativos reais$\mathbf Z_p^\times/(1 + p^k\mathbf Z_p)$ de modo que a estrutura multiplicativa de $\mathbf Z_p^\times$pode ser explorado. É intrigante que, para explicar o comportamento de um grupo abeliano finito , passemos a um$p$- grupo compacto radical como $\mathbf Z_p^\times$, estude-o e, em seguida, obtenha seu quociente por um subgrupo aberto. Na linguagem da teoria elementar dos números, esse problema seria mostrar que os módulos ímpares de potência primária têm uma "raiz primitiva" (terminologia antiquada para um gerador das unidades de algum módulo).
Embora não seja um uso real de $p$-dicções completas, um uso bonito de uma forma estendida do $p$- o valor absoluto rádico é uma prova do lema de Gauss em $\mathbf Z[x]$: se um polinômio em $\mathbf Z[x]$ é redutível em $\mathbf Q[x]$ então é redutível em $\mathbf Z[x]$ com fatores dos mesmos graus que em $\mathbf Q[x]$. A ideia do$p$- a prova radical é estender o $p$- valor absoluto rádico de $\mathbf Q$ para $\mathbf Q[x]$. Veja aqui .
Uma das provas padrão de que as somas harmônicas $H_n = 1 + 1/2 + \cdots + 1/n$ não são inteiros para $n \geq 2$ é mostrar que esses números racionais não são $2$-adicamente integral (há um único termo de maior $2$- tamanho da raiz maior que $1$) Veja aqui .
No livro de Koblitz sobre $p$-análise radical e funções zeta, ele usa $p$- integração radical para explicar $p$- propriedades de congruência de potência dos números de Bernoulli que foram provadas por Kummer, Clausen e von Staudt no século 19 por métodos completamente diferentes.
Critério de Eisenstein: se $f=x^n +p \sum_{m=0}^{n-1} a_m x^m\in \Bbb{Z}[x]$ com $p\nmid a_0$ então qualquer raiz de $f$ dentro $\overline{\Bbb{Q}}_p$ deve ter avaliação $1/n$
(E se $v(\beta)>1/n$ então $v(f(\beta))= v(pa_0)$, E se $v(\beta)<1/n$ então $v(f(\beta))= v(\beta^n)$)
E se $h | f$ dentro $\Bbb{Q}_p[x]$ então $h(0)$ tem avaliação $\deg(h)/n$ de modo a $\deg(h)=0$ ou $n$ ie. $f$ é irredutível em $\Bbb{Q}_p[x]$ e, portanto, em $\Bbb{Q}[x]$.
E o lema de Hensel, é claro: dado um polinômio $\in \Bbb{Z}[x]_{monic}$, há algum $k$ de modo que ter uma raiz em $\Bbb{Z}/p^k\Bbb{Z}$ é a condição necessária e suficiente para ter uma raiz em cada $\Bbb{Z}/p^n\Bbb{Z}$.
Uma aplicação bem conhecida de $p$Números -adic é o teorema de Hasse-Minkowski para formas quadráticas. Isso afirma que se$P$ é uma forma quadrática irredutível em qualquer número de variáveis $n$, então a equação $P(x_1,\dots,x_n)=0$ tem soluções racionais diferentes de zero se e somente se ele tem soluções diferentes de zero com coeficientes em $\mathbb{R}$ e $\mathbb{Q}_p$ para cada primo $p$.
Este resultado é uma ferramenta muito poderosa para determinar se tal equação tem soluções racionais, uma vez que se $n\geq 3$, o teorema de Chevalley-Warning implica que a equação$P(x_1,\dots,x_n)=0$ tem um módulo de solução diferente de zero $p$ para cada primo $p$. Combinando isso com o lema de Hensel, vemos que os únicos primos que precisam ser verificados são aqueles para os quais$P$ é módulo redutível $p$.
Se você quiser realmente ser elementar, podemos derivar e refinar o teorema da raiz racional com polígonos de Newton.
Se você nunca construiu um polígono de Newton antes, você pega seu polinômio $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ e então coloque os pontos $(i,v_p(a_i))$no avião e você pode imaginar envolvendo-os em um elástico - a curva inferior é o polígono de Newton. Veja a página wikipedia do polígono de Newton para uma bela imagem com mais detalhes.
O polígono de Newton fornece informações exatas sobre as raízes p-ádicas em $\mathbb{C}_p$, em particular quantos existem de um determinado valor absoluto p-ádico. Para fazer isso, examinamos cada segmento de linha. A inclinação deste segmento$m$ significa que existem raízes $r$ com $|r|_p=p^m$e o comprimento de sua projeção no eixo horizontal nos diz que temos exatamente esse número de raízes. Claro que a soma dessas projeções de comprimento deve ser o grau$n$, porque estamos no campo algébricamente fechado $\mathbb{C}_p$.
Então, o que isso nos diz sobre raízes racionais? Porque$\mathbb{Q}$ está contido em $\mathbb{C}_p$estamos obtendo informações sobre as possíveis raízes racionais também. Em particular, sabemos que os números racionais só têm potências expoentes inteiras dos primos e, portanto, podemos descartar imediatamente quaisquer inclinações que não sejam inteiras. Nesse sentido, refinamos o teorema da raiz racional para divisores exatos em nossos candidatos a raiz racional.
Podemos derivar o teorema da raiz racional, lembrando que ele diz respeito a polinômios com coeficientes inteiros. Isso significa que todos os nossos pontos estão no primeiro quadrante. Agora pensamos, se fixarmos os pontos finais esquerdo e direito permitindo que todos os outros coeficientes intermediários tomem qualquer valor inteiro, qual é a inclinação mais negativa e mais positiva que podemos encontrar? Não podemos fazer declives arbitrariamente grandes colocando os pontos mais acima, porque o polígono de Newton não os verá, e acabaremos simplesmente conectando os pontos final e inicial. Por outro lado, podemos descer imediatamente para 0 de$(0,v_p(a_0))$ para $(1,0)$ o que nos dá uma inclinação $-v_p(a_0)$ e também poderíamos ir de $(n-1,0)$ até $(n,v_p(a_n)$ dando uma inclinação de $v_p(a_n)$. Isso significa que conhecemos nossa raiz$r$ poderia satisfazer $p^{-v_p(a_0)} \le |r|_p \le p^{v_p(a_n)}$, que também pode ser escrito $|a_0|_p \le |r|_p \le |\tfrac{1}{a_n}|_p$. O mesmo argumento funciona para todos os primos e, portanto, podemos colocá-los juntos para obter o teorema da raiz racional.
Em certo sentido, isso é meio bobo, mas acho legal pessoalmente ver isso de uma forma pictórica. Também é bom saber que o polígono de Newton é forte o suficiente para encapsular esse resultado.