Apresentação do subgrupo

Question

Deixei $G$ seja o grupo com apresentação $$G = \langle \sigma_1 ,\sigma _2 , \sigma _3\, |\, \sigma _1^2=\sigma _2^2=\sigma _3^2=(\sigma _1\sigma _2)^p =(\sigma _2\sigma _3)^q =(\sigma _3\sigma _1)^r =1\rangle .$$ Quero fazer uma apresentação para o subgrupo $H$ gerado pelos elementos $\tau _1=\sigma _1\sigma _2,\, \tau _2=\sigma _2\sigma _3,\ \tau _3=\sigma _3\sigma _1$.

É o suficiente para conjeturar a apresentação $$ H=\langle \tau _1,\tau _2 ,\tau _3\, |\, \tau _1^p=\tau _2^q=\tau _3^r=\tau _1\tau _2\tau _3 =1 \rangle$$ e argumentar que as relações na apresentação de $G$ implicar claramente os que são conjecturados para $H$ e que as relações de $H$ implicam as relações na apresentação de $G$.

Answer 1

Não, isso não é suficiente, pois pode haver relações "ocultas". Em seu exemplo,$H$ tem de fato a apresentação dada, e é presumivelmente possível mostrar isso "manualmente" usando propriedades do grupo $G$, mas não é "claramente" verdadeiro.

Como alternativa, você pode usar o método Reidemeister-Schreier. Este é um processo para encontrar uma apresentação de um determinado subgrupo de um grupo, e funciona bem aqui porque$H$ tem índice finito em $G$. Existem duas abordagens para o método: a versão combinatória / algébrica clássica, conforme abordada na Seção 2.3 do livro Teoria dos grupos combinatórios de Magnus, Karrass e Solitar, ou na Seção II.4 do livro de Lyndon e Schupp de mesmo nome, e o versão topológica usando coberturas de complexos de apresentação (veja aqui ). Pessoalmente, sou a favor da versão topológica, visto que a vejo como uma "visualização" da versão algébrica.

O processo também pode ser feito em um computador (veja aqui ), embora o computador queira$p,q,r$ para ser consertado.