Avaliação do Lebesgue Integral

Question

Estou tendo alguns problemas com o segundo ponto desta questão e não tenho certeza se acertei o primeiro:

Para $x\in\mathbb{R} - \{0\}$, deixei $f_n(x) = \frac{1}{(1 + n^2 + x^2)(\arctan (x^2))^{1/n}}$, $n \in\mathbb{N} - \{0\}$

(i) determinar para qual $n ∈ \mathbb{N}, f_n$ ∈ $L^1(\mathbb{R})$

(ii) avaliar $\lim_{n\to \infty}$ $\int_{\mathbb{R}} f_n \,dm$;

Pela primeira parte, noto que o $f_n$ são contínuos, o que implica que eles são mensuráveis ​​e que as funções são uniformes, então posso restringir minha análise a $[0, \infty )$.

Então quando $x\rightarrow\infty, \, f_n \sim \frac1{x^2\bigl({\pi\over2} \bigr)^{1 \over n}} \le {1 \over {x^2}}$ então posso dizer que a integral converge para cada $n\in\mathbb{N} - \{0\}$

Em vez quando $x \rightarrow 0$, $f_n \sim \frac1{(1+x^2)x^{2 \over n}} \le {1 \over {x^{2\over n}}}$ que converge para todos $n \gt 2 $. Então chegamos ao segundo ponto, aqui não consegui encontrar uma integral majorante para usar o teorema da convergência dominada de Lebesgue e nem mesmo fui capaz de determinar se existe uma cadeia do tipo$f_1 \le f_2 \le f_3 \le \cdots \le f_n \le \cdots$ a fim de usar o teorema da convergência monótona para passar o limite sob o sinal da integral e avaliá-lo.

Como adição, acho que a integral no final é zero porque $\lim_{n\to \infty} f_n = 0$.

Muito obrigado.

Answer 1

Observe que, para qualquer $\epsilon \in(0,1)$ então $0\leqslant f_n(x)\leqslant \frac1{(1+x^2)\arctan (\epsilon ^2) }$ para todos $x\in \mathbb{R}\setminus (-\epsilon ,\epsilon )$ e tudo $n\in \mathbb{N}$ então o teorema da convergência dominada nos mostra que $$ \lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}\setminus (-\epsilon ,\epsilon )}f_n\mathop{}\!d \lambda =0 $$ Agora observe que $|x|/2\leqslant |\arctan x|$ para todos $x\in (-\epsilon ,\epsilon )$. Portanto$$ 0\leqslant \int_{(-\epsilon ,\epsilon )}f_n\mathop{}\!d \lambda \leqslant \int_{(-\epsilon ,\epsilon )}\frac2{n^2|x|^{2/n}}\mathop{}\!d x =\int_{(0,\sqrt[n]{\epsilon })}\frac4n y^{n-3}\mathop{}\!d y\leqslant \int_{(0,1)}\frac4n\epsilon ^{1-3/n}\mathop{}\!d y $$ Então, o teorema de convergência dominado nos mostra que $$ \lim_{n\to\infty}\int_{(0,\sqrt[n]{\epsilon })}\frac4n y^{n-3}\mathop{}\!d y=0\implies \lim_{n\to\infty}\int_{(-\epsilon ,\epsilon )}f_n\mathop{}\!d \lambda =0 $$ então concluímos que $\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}f_n\mathop{}\!d \lambda =0$.