Base do campo$E$=$\mathbb{Q}(\sqrt{6}i-\sqrt{5})$.

Question

vamos pegar um campo$E$=$\mathbb{Q}(\sqrt{6}i-\sqrt{5})$.

Eu queria encontrar uma base de$E$como um$\mathbb{Q}$-Espaço vetorial. Meu primeiro pensamento foi usar o teorema da estrutura simplesmente para extensão de campo. Portanto, eu precisava encontrar um elemento$u\in E$de modo a$u$é algébrico sobre$E$e um$f$de modo a$f(u)=0$. Então seria$u,u^{2},...,u^{deg(f)-1}$ser uma base. Só não sei como posso fazer isso corretamente.

Em segundo lugar, eu queria encontrar um polinômio$f\in \mathbb{Q}[X]$de modo a$E$é o campo de divisão de$f$sobre$\mathbb{Q}$. Porque estou preso com meu primeiro pensamento, não entendo como posso encontrar tal$f$.

EDITAR:

PRIMEIROS

• vamos nomear$\alpha$=$\sqrt{6}i-\sqrt{5}$. Estamos procurando um polinômio$f\in \mathbb{Q}$de modo a$f(\alpha)$=0.

$\alpha^{2}$=$-1-2i\sqrt{30}$

$\alpha^{3}$=$-i\sqrt{6}+\sqrt{5}+2\sqrt{+}\sqrt{30}+2i\sqrt{5}\sqrt{0}$

$\alpha^{4}$=$1+4i\sqrt{30}-120$=$-119+4i\sqrt{30}$

Então segue que$\alpha^{4}+2\alpha^{2}+121=0$

nós nomeamos$f(x)$=$x^{4}+2x^{2}+121$

Porque$f$não é$0$e não tem pontos$x$assim$f(x)=0$, é$f$irriducibel. Isso significa que$f$é o polinômio mínimo de$\alpha$sobre$E$. Agora usamos o teorema da estrutura para simplesmente extensão de campo e segue que {$1,\alpha,\alpha^{2},\alpha^{3}$} é uma base.

SEGUNDO

• Eu ainda estou preso provando isso

Answer 1

Dica

$$(\sqrt 6i-\sqrt 5)^2=-1-2\sqrt{30}i$$e assim$$((\sqrt6i-\sqrt 5)^2+1)^2+120=0,$$ou seja$$x^4+2x^2+121=0$$é um polinômio aniquilador. Deixo você concluir.

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Outra forma seria mostrar que$$\mathbb Q(\sqrt 6i,\sqrt 5)=\mathbb Q(\sqrt 6i-\sqrt 5),$$e assim, uma base seria$$\{1,\sqrt 6i,\sqrt 5, i\sqrt{30}\}.$$

Answer 2

O polinômio mínimo de$\sqrt 5$sobre$\mathbb Q$é$p(x)=x^2-5$. E o polinômio mínimo de$\sqrt{6}i-\sqrt{5}$sobre$\mathbb Q(\sqrt{5})$é$q(x)= x^2+2\sqrt{5}x +11$.

Você pode então usar o teorema da base telescópica para obter uma base de$E$sobre$\mathbb Q$é

$$\{1, \sqrt{5}, \sqrt{6}i, \sqrt{30}i\}$$

Answer 3

Para a parte dois da sua pergunta. Você já encontrou o polinômio certo, ou seja,$f(x)=x^4+2x^2+121$. Você sabe disso$\sqrt{6}i-\sqrt{5}$é uma raiz deste polinômio. Desde$\mathbb{Q}$é um campo e tem característica 0, você sabe pelo teorema do elemento primitivo que seu campo de divisão é$\mathbb{Q}(\sqrt{6}i-\sqrt{5})$.