Cada campo é um anel local

Question

Tenho uma pequena pergunta sobre um anel local. Acabei de ver o conceito e procurei algo na internet.

Eu me perguntei se é verdade que todo campo é um anel local?

Porque ${0}$é o único ideal máximo. Não tenho certeza, porque não posso provar que se$R$ é um campo então apenas ${0}$ e $R$ são ideais.

Answer 1

E se $R$ é um campo e $I\ne\{0\}$ é um ideal, pegue $r\in I$, $r\ne0$. Então$$ 1=rr^{-1}\in I $$ então $I=R$.

Mais geralmente, um anel comutativo $R$ é local se e somente se o conjunto de elementos não reversíveis de $R$ é um ideal.