Cada singleton no Postman Metric Space é um set aberto?

Question

Esta é uma pergunta de Metric Spaces de Jain e Ahmad.

No espaço métrico$(\mathbb R^2, d)$ Preciso descobrir se cada conjunto de singleton está aberto ou não, onde

$d(x,y)=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|$

para $x=(x_1, x_2)$ e $y=(y_1, y_2)$ dentro $\mathbb R^2$

Minha tentativa, eu sei que a esfera aberta centrada em qualquer$x\in \mathbb R^2$será um quadrado aberto e não estará contido no conjunto de singleton considerado, mas a resposta diz que cada singleton seria na verdade um conjunto aberto, exceto {0}. Por favor, ajude.

Answer 1

Este é um erro do livro. Como você encontrou corretamente, para a métrica$$d^{\ast\ast}(x,y) = \lvert x_1 - y_1\rvert + \lvert x_2 - y_2\rvert$$as bolas abertas são quadrados abertos (com as diagonais paralelas aos eixos coordenados). Esta métrica induz a topologia padrão em$\mathbb{R}^2$, portanto, nenhum conjunto finito não vazio está aberto. Nomes comuns para esta métrica são$\ell^1$-métrica (uma vez que é induzida pelo $\ell^1$-norma), métrica de Manhattan (já que Manhattan é um tanto famosa por uma rede rodoviária mais ou menos retangular, então a distância que alguém tem que viajar entre dois pontos é a soma da distância norte-sul e a distância leste-oeste) ou métrica de táxi .

Eles provavelmente pretendiam fornecer a métrica como $$d^{\ast\ast}(x,y) = \begin{cases}\qquad 0 &\text{if } x = y \\ \lVert x\rVert + \lVert y\rVert &\text{if } x \neq y \end{cases}$$ Onde $\lVert\,\cdot\,\rVert$ é uma norma em $\mathbb{R}^2$ (geralmente o euclidiano, também conhecido como $\ell^2$, norma). Esta métrica tem a propriedade declarada, para$x \neq 0$ e $0 < r < \lVert x\rVert$ a bola aberta $B_r(x)$ é o singleton $\{x\}$.

Esta última métrica é - na minha opinião inadequada - também conhecida como British Rail metric, SNCF metric ou post office metric . Esses nomes são inadequados, porque se dois pontos estão na mesma linha, não é necessário viajar por Londres ou Paris, respectivamente, para chegar ao destino, ao passo que a métrica diz que é preciso.

Um nome mais adequado, com o qual encontrei essa métrica pela primeira vez, mas que infelizmente não parece ter se espalhado, é a métrica dos peixeiros da Gália . ("Das Meer? Era hat denn das Meer mit meinen Fischen zu tun?" Minha tradução: "O mar? O que o mar tem a ver com o meu peixe?"; Porque ele compra o peixe para sua loja em Paris, em vez de pescar em o mar logo atrás da aldeia como Asterix sugeriu.)