Calculando o comprimento do arco circular

Question

Atualmente estou trabalhando em um exemplo passo a passo que calcula o comprimento de um arco circular $\gamma$ de raio $r$ subtendido por ângulos $\theta_1$ e $\theta_2$.

O arco circular é parametrizado como $\gamma (t) = c + re^{it}$ para $\theta_1 \leq t \leq \theta_2$.

Para calcular o comprimento, precisamos calcular a derivada, $\gamma'$, qual é $\gamma'(t)=rie^{it}$.

Então, pela definição de comprimento, obtemos $$L(\gamma) = \int_{\theta_2}^{\theta_1}|rie^{it}| dt$$

Eu entendo tudo até este ponto, mas depois a solução passa por simplificar ainda mais a integral e não entendo por que isso pode ser feito.

$$L(\gamma) = \int_{\theta_2}^{\theta_1}|rie^{it}| dt = r\int_{\theta_2}^{\theta_1}dt = r(\theta_2 - \theta_1)$$

Certamente, ao integrar, você obteria o seguinte?

$$L(\gamma) = \int_{\theta_2}^{\theta_1}|rie^{it}| dt = r\int_{\theta_2}^{\theta_1}|ie^{it}| dt = r(e^{i\theta_2} - e^{i\theta_1})$$

Qualquer ajuda para mostrar onde errei seria muito apreciada!

Answer 1

$$ r\int_{\theta_{2}}^{\theta_{1}}|ie^{it}|dt \\ = r\int_{\theta_{2}}^{\theta_{1}}|i(\cos(t) + i\cdot \sin(t))|dt \\ = r\int_{\theta_{2}}^{\theta_{1}}|i\cos(t) - \sin(t)|dt $$

Agora $i\cos(t) - \sin(t)$parametriza um círculo unitário nos eixos real-imaginários. Lembre-se de que o valor absoluto de um número complexo$|a + bi|$ é basicamente a magnitude como se fosse um vetor: $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$. Como é um círculo unitário, a magnitude sempre será 1. Isso dá:

$$r\int_{\theta_{2}}^{\theta_{1}}1 dt = r(\theta_{2} - \theta_{1})$$