Cálculo de probabilidade do processo de Poisson

Question

Eu tenho o processo de Poisson $\{N(t)\}_{t\geq 0}$ com taxa $\lambda=2$. Dado que quatro eventos ocorrem durante o intervalo de tempo$[0,2]$, qual é a probabilidade de que o primeiro evento ocorra antes do tempo $t=1$?

Pelo que entendi, preciso calcular $\mathbb{P}(N(1)\geq1\mid N(2)-N(0)=4).$

Portanto, presumo que devo usar a fórmula de probabilidade condicional \ begin {equation} \ frac {\ mathbb {P} (N (1) \ geq 1, N (2) -N (0) = 4)} {\ mathbb {P } (N (2) -N (0) = 4)} \ end {equação}

Eu me esforço agora para ver a interseção entre as duas partes do meu numerador. Também não estou muito confiante de que meu funcionamento para o denominador esteja correto. \ begin {equation} \ mathbb {P} (N (2) -N (0) = 4) = e ^ {- 2} \ frac {(2) ^ 4} {4!} = e ^ {- 2} \ frac {2} {3} \ end {equation} Alguém poderia me explicar como identificar a interseção no numerador e se meu cálculo para o denominador está correto?

Answer 1

Na definição do Processo de Poisson, assume-se que $N(0)=0$. [Ref. https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_point_process]

$N(2)-N(0)=N(2)$ é Poisson com parâmetro $4$. Então, o denominador é$e^{-4}\frac {4^{4}} {4!}$.

Dica para o numerador: Let $X=N(1)$ e $Y=N(2)-N(1)$. Então$X$ e $Y$ são independentes com $Poiss(2)$distribuição. . Conseqüentemente$P(X \geq 1, X+Y=4)= \sum\limits_{n=1}^{4} P(X=n) P(Y=4-n)=\sum\limits_{n=1}^{4}e^{-2} \frac {2^{n}} {n!} e^{-2}\frac {2^{4-n}} {(4-n)!}$. .