Cálculo de Spivak Capítulo 7-13b

Question

13b) Suponha$f$é uma função que satisfaz o teorema do valor intermediário (IVT) e assume cada valor apenas uma vez. Prove que$f$é contínuo.

Pesquisei esta questão e encontrei esta prova no MSE:

Uma função que satisfaz o Teorema do Valor Intermediário e assume cada valor apenas um número finito de vezes é contínua.

A prova fica assim:

Suponha$f$não é contínua.

$\therefore \forall \delta >0: \exists (\epsilon >0, x \in \mathbb{R}):\text{if } 0<|x-a|< \delta \implies |f(x)-f(a)|> \epsilon$

Tecnicismo irritante 1)$|f(x)-f(a)|> \epsilon \implies f(x)<f(a) - \epsilon ~~~~\text{OR} ~~~~f(x)>f(a)+ \epsilon$

tecnicismo irritante 2)$0<|x-a| \implies x>a ~~~~\text{OR} ~~~~x<a$

vamos escolher$f(x)>f(a)+ \epsilon$e$x>a$.

Agora a verdadeira prova:

(1) Por IVT,$\exists y \in [a,x]: f(y)<f(a)+ \epsilon$

(2) Por suposição,$\exists z \in [a,y]:f(z)>f(a)+ \epsilon$

(3) Por IVT,$\exists x_1 \in [z,y] \text{ and } \exists x_2 \in [y,x]:$

$f(x_1)=f(a) + \epsilon = f(x_2) $

O que contradiz o fato de que$f$é injetivo.

Eu entendo os passos (2) e (3). É a etapa (1) que está me causando problemas. A lógica que vejo é que$f(x) > f(a) + \epsilon > f(a)$assim$\exists m:f(x)>m>f(a)$ao qual posso aplicar o IVT, para obter:$\exists y \in [a,x]: f(x)>f(y)>f(a)$. Mas então como segue isso$f(y)<f(a) + \epsilon$?

Então pensei e se eu trocar$f(x)$com$f(a) + \epsilon$, mas o problema é que não consigo aplicar o IVT, pois só funciona para$f(x) < m < f(y)$(os lados esquerdo e direito da desigualdade devem ser um valor da função, que$f(a) + \epsilon$não necessariamente).

o que estou perdendo?

Editado: eu descobri. O truque é aplicar IVT duas vezes.

Answer 1

Se$f(x)>f(a)+\epsilon>f(a)$, então$c=f(a)+\frac{\epsilon}{2}$é um valor entre$f(x)$e$f(a)$. Portanto, pelo IVT, existe algum$y$entre$a$e$x$de tal modo que$f(y)=c$. Agora$f(y)<f(a)+\epsilon$.