Cálculos com números complexos

Question

Então, encontrei esta questão hoje em meu livro de matemática, e não sei como obter a resposta certa, embora pareça muito fácil, eu só quero saber como fazer para que eu possa dormir um pouco.

Esta é a questão:

Quando o número complexo $z=r(\cos\theta + i \sin\theta)$ mostre isso $z-\frac{1}{z}=i(2r\sin\theta)$

Não fiz muito por esta questão, a não ser usando o número complexo real: $$\frac{z^2-1}{z}$$

Alguém pode me mostrar como fazer para provar esta questão, qualquer ajuda é apreciada.

Answer 1

A identidade não é verdadeira, na verdade temos que

$$z-\frac1z=z-\frac{\bar z}{|z|^2}=r(\cos\theta + i \sin\theta)-\frac1r(\cos\theta - i \sin\theta)=\left(r-\frac1r\right)\cos \theta+\left(r+\frac1r\right)i\sin \theta$$

a identidade é verdadeira apenas para $\left(r-\frac1r\right)=0$ e $\left(r+\frac1r\right)=2r$ isso é $r=1$ ou $z=e^{i\theta}$.

Answer 2

O que é igual a $\:2ir\sin\theta\:$ é $\:z -\color{red}{\bar z}$.

Agora $\bar z=\dfrac 1 z\:$ se e apenas se $z$ tem módulo $1$.