classes de conjugação de $GL(3,\mathbb{Z}_p)$

Question

Quantas classes de conjugação o grupo $GL(3,\mathbb{Z}_p)$ tem, se $p$ é um primo?

Até agora eu tenho um (muito amplo) boud inferior, usando que o número de classes de conjugação em um grupo é pelo menos tanto quanto o número de elementos no centro. Agora, o centro de um grupo é o conjunto de elementos que comutam com todos os outros elementos do grupo, e no caso de$GL(n,\mathbb{Z}_p)$as matrizes escalares são os elementos com esta propriedade. Portanto, o número de classes de conjugação de$GL(3,\mathbb{Z}_p)$ é pelo menos $p−1$.

Além disso, notei que o número de classes de conjugação é o número de cosets do centralizador de um elemento do grupo, que é o mesmo que o índice do centralizador. Eu estava pensando que poderia escolher um elemento em$GL(3,\mathbb{Z}_p)$e encontre o centralizador e seu índice. Estou no caminho certo?

Answer 1

Se duas matrizes são semelhantes, elas têm os mesmos polinômios característicos $\lambda^3+a_1\lambda^2+a_2\lambda+a_3$. O número de tais polinômios é$p^2(p-1)$. Portanto, o número de classes de conjugação é de pelo menos$p^3-p^2$.

Mas na verdade o número é maior. Cada matriz sobre qualquer campo é semelhante a uma matriz de bloco diagonal única na forma normal natural (às vezes chamada de regular) (única na ordem dos blocos). Os blocos correspondem a divisores do polinômio característico. Então, para cada polinômio de grau$3$como acima, precisamos contar o número de formas normais possíveis. Em seguida, some esses números e obtemos o número de todas as classes de conjugação.

O cálculo foi feito em livros clássicos de teoria de grupo (digamos, em Dickson) e, mais recentemente, neste artigo . O número total também pode ser encontrado aqui :

É igual a $p^3-p$.