Classificação de Cantor-Bendixson de tipo isolado

Question

Este é o lema 2.2.3 (i) no livro de S.Buechler's Essential Stability Theory . Deixei$T$seja uma teoria completa. Nós definimos a classificação de Cantor-Bendixson de uma fórmula$\phi$ dentro $n$ variáveis ​​da seguinte forma.

1. $CB(\phi)=-1$ E se $\phi$ é inconsistente;
2. Deixei $\alpha$ seja um ordinal, e $\Psi_{\alpha}= \{\psi: CB(\psi)=\beta \mbox{ for some } \beta < \alpha \}$. $CB(\phi)=\alpha$ E se $\{p\in S_n(\emptyset) : \phi \in p \mbox{ and } \neg \psi \in p \mbox{ for all } \psi \in \Psi_{\alpha} \}$ não é vazio e é finito.

Deixei $p$ seja um completo isolado $n$-tipo. Então sabemos que$p$ é isolado pela fórmula $\phi'$da definição de isolamento. Minha pergunta é

Por quê $CB(\phi')=0$ ?

Parece que temos que mostrar que existem apenas muitos tipos finitos $p \in S_n(\emptyset)$ qual $\phi' \in p$ e $\neg \psi \in p$ para todos $\psi \in \Psi_0$. Mas não tenho ideia de como provar isso. Todas as dicas e sugestões são bem-vindas. Obrigado!

Answer 1

Vamos primeiro provar isso diretamente das definições que você mencionou. As fórmulas em$\Psi_0$são exatamente as fórmulas inconsistentes. Então, para qualquer tipo$q$ e qualquer $\psi \in \Psi_0$ temos $\neg \psi \in q$. Isso significa que$$ \{q \in S_n(\emptyset) : \phi' \in q \text{ and } \neg \psi \in q \text{ for all } \psi \in \Psi_0\} = \{q \in S_n(\emptyset) : \phi' \in q\} = \{p\}, $$ onde a última igualdade segue porque $\phi'$ isola $p$. Então, de fato$CB(\phi') = 0$.

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A classificação de Cantor-Bendixson também é freqüentemente definida de uma maneira topológica como segue. Para referências, consulte, por exemplo, Um Curso em Teoria do Modelo de Tent e Ziegler, exercício 6.2.6, ou Teoria do Modelo: Uma Introdução por Marcador, exercício 6.6.19g (embora haja um erro de digitação lá, que deve ficar claro pela definição abaixo) .

Para um espaço topológico $X$ nós definimos $X^{(\alpha)}$ para ordinais $\alpha$ do seguinte modo:

1. $X^{(0)} = X$,
2. $X^{(\alpha+1)} = X^{(\alpha)} - \{x \in X^{(\alpha)} : x \text{ is an isolated point in } X^{(\alpha)}\}$,
3. $X^{(\lambda)} = \bigcap_{\alpha < \lambda} X^{(\alpha)}$ para limite $\lambda$.

Nós chamamos $X^{(\alpha)}$ a $\alpha$-º derivado de Cantor-Bendixson de$X$. Por um ponto$x \in X$a classificação Cantor-Bendixson $CB(x)$ é então o máximo $\alpha$ de tal modo que $x \in X^{(\alpha)}$.

Aplicando isso a $X = S_n(\emptyset)$ podemos dar sentido ao Cantor-Bendixson para uma fórmula $\phi$ definindo $$ CB(\phi) = \sup \{CB(p) : \phi \in p \in S_n(\emptyset)\}. $$Seria um bom exercício mostrar que essas definições são equivalentes (embora isso seja um exercício mais difícil do que o que você perguntou). Com essas definições, também seria fácil seguir que$CB(\phi') = 0$ E se $\phi'$ isola um tipo.